<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
         Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06264-4 

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio
 
 Sexta Parte

 Captulo 11

 reas e volumes ::::::::::: 623
 Ideias para o clculo de
  reas e volumes :::::::::: 623
 Frmulas para o clculo de
  reas :::::::::::::::::::: 636
 Ao/Investigao --
  Deduzindo frmulas :::::: 646
 O teorema de Pitgoras ::: 664
 Um toque a mais --
  Geometria das
  edificaes :::::::::::::: 682

 Captulo 12

 Sistemas de equaes :::::: 688
 Ao --
  Resolvendo quebra-
  -cabeas ::::::::::::::::: 688
 Os sistemas e o mtodo da
  adio ::::::::::::::::::: 690
<p>
 Os sistemas e o mtodo da
  substituio ::::::::::::: 705
 Problemas ::::::::::::::::: 716
Um toque a mais --
  Arquimedes e a coroa do
  rei :::::::::::::::::::::: 728

Captulo 13

 Geometria experimental :::: 734
  ou no  
  proporcional? :::::::::::: 734
 Permetro da
  circunferncia ::::::::::: 758
 Um toque a mais --
  Matemtica e mquinas ::: 769

<207>
<Tmat. i. & l. 8>
<T+623>
 Captulo 11

 reas e volumes

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

 Ideias para o clculo de reas
  e volumes

  Voc j tem alguma experincia neste assunto. Neste captulo, retomamos e aprofundamos o clculo de reas e volumes. De incio, reunimos algumas ideias bsicas.

 Contagem

  A maneira fundamental de obter a rea de uma figura geomtrica  a contagem: contar a quantidade de unidades de rea que cabem dentro da figura.
<p>
  Esse processo pode dar o valor exato ou aproximado da rea, dependendo da figura e da unidade usada. Por exemplo, no caso da forma irregular da ilustrao 
 _`[no adaptada_`], usando como unidade o quadradinho de rea 1 u2, obtemos a rea aproximada:

<R+>
_`[{um homem diz: "Este sinal quer dizer aproximadamente igual". Ele mostra: "rea^=35 u2"_`]
<R->

 Decomposio

  Neste caso, a ideia  separar a figura em partes cujas reas possam ser calculadas com facilidade. Por exemplo, a figura laranja da ilustrao _`[no adaptada_`] pode ser decomposta em retngulos:
 rea =3.2+2.8+3.6 u2=
  =40 u2

<208>
 Decomposio e recomposio

  Neste outro exemplo, a figura _`[no adaptada_`]  decomposta e, a seguir, suas partes so recompostas formando um retngulo:

<R+>
_`[{o professor diz: "Como nenhum pedao da figura foi desprezado, a rea do retngulo  igual  rea da figura inicial"_`]
<R->

 rea =4 u.12 u=48 u2

  Uma informao histrica: o grande pintor, engenheiro e inventor Leonardo da Vinci era matemtico nas horas vagas e resolveu vrios problemas sobre clculo de rea usando decomposio e recomposio. Voc ver exemplos na seo Problemas.

 Completamento

  Uma outra estratgia usada para calcular a rea de uma figura  complet-la para obter uma forma cuja rea seja fcil de calcular, como um retngulo. Em seguida, calcula-se a rea do retngulo e desconta-se o que foi acrescentado. Como exemplo, podemos imaginar o tringulo retngulo da ilustrao completado de modo a formar um retngulo:

<F->
    -
    l           {
    l           {
    l           {
    l           {
    l           {
    l           {
    l           {
  a l           {
    l           {
    l           {
    l::        {
    l_-_        {
    v--#---------u
            b
<F+>

  O tringulo de lados perpendiculares *a* e *b*  exatamente metade do retngulo de lados *a* e *b*. Como a rea do retngulo  a.b, a do tringulo  ?a.b*2.

 Concluindo

  Vimos ideias importantes para calcular reas. Usando-as, podemos resolver muitos problemas sobre clculo de reas e tambm sobre clculo de volumes.

<R+>
_`[{uma menina diz: "Mas volume  outra coisa!". O professor fala: "Sim, mas voc ver que essas mesmas ideias so tambm usadas no 
clculo de volumes!"_`]

<209>
 Conversando sobre o texto

 a) D exemplo de uma situao prtica, do dia-a-dia, em que se precisa calcular reas.
 b) Agora, d um exemplo de situao cotidiana que envolva o clculo de volumes.
 c) Que frmula se usa para calcular a rea de um retngulo? Explique essa frmula e o seu porqu.
<p>
 d) Mostre outra maneira de decompor a figura laranja em retngulos.
 e) No texto, so apresentadas quatro ideias para o clculo de reas. Quais so?
 f) Uma biloga especialista em plantas reproduziu a folha _`[no adaptada_`] de um vegetal sobre papel quadriculado.
  Qual das ideias citadas no texto voc usaria para obter a rea da folha?
 g) J ouviu falar em Leonardo da Vinci? O que voc sabe sobre ele?
 h) Como se calcula o volume de um bloco retangular?
 i) Como se pode calcular o volume de um slido como este _`[no adaptado_`]? (No  para fazer contas.  s para explicar a ideia.)

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<210>
 Problemas

_`[{para as atividades de 1 a 7, pea orientao ao professor_`]

 1. A escala da planta de um salo  1:200 (l-se: 1 para 200). Isso significa que 1 cm na planta representa 200 cm, ou seja, 2 m do salo.
  Pretende-se revestir o piso do salo com carpete e fazer o acabamento com cordo de rodap. Faa medidas na planta _`[no adaptada_`] e responda em seu caderno:
 a) A largura de cada porta  de 80 cm. Quantos metros de cordo sero necessrios?
 b) Quantos metros quadrados de carpete sero necessrios?

 2. Calcule a rea exata da figura _`[no adaptada_`] construda na malha centimetrada.
<p>
 3. Leonardo da Vinci  famoso por sua arte e por suas invenes.

_`[{foto descrita por legenda_`]
 Legenda: Leonardo da Vinci viveu em Florena, Itlia, de 1452 a 1519. Seu quadro mais famoso  a enigmtica *Mona Lisa*, obra de 1503.

  Ele tambm se dedicou  geometria, estudando figuras curvilneas que podem ser transformadas em retngulos de mesma rea. No caso que vamos apresentar, trata-se de uma figura que Leonardo chamou de pndulo, pois lembra o pndulo de alguns relgios.

_`[{figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: O pndulo pode ser construdo a partir de um quadrado, com trs arcos de circunferncia de mesmo raio *r*, 
<p>
  sendo que *r*  metade do lado do quadrado.
 Legenda 2:  possvel decompor o pndulo e recompor as partes para formar uma nova figura.

 a) Calcule a rea do pndulo supondo r=2 cm.
 b) Escreva em seu caderno a frmula da rea A do pndulo em funo de *r*.

<211>
 4. Vamos calcular por decomposio e recomposio a rea de um paralelogramo _`[no adaptado_`] desenhado em uma malha centimetrada.
 a) Deslocando o tringulo da direita para o lado esquerdo e colando-o no quadriltero, forma-se um retngulo. Sua rea  igual  do paralelogramo?
 b) Ento, qual  a rea do paralelogramo?
 c) Mea com rgua e responda: o paralelogramo e o retngulo tm permetros iguais?

 5. Pode-se usar decomposio e recomposio para calcular o volume de figuras espaciais. Veja o caso _`[no adaptado_`], em que cada cubinho tem 1 m3.
  Qual  o volume em metros cbicos da figura?

 6. Calcule a rea do seguinte tringulo. *Dica*: complete-o de maneira conveniente.

<F->
         r  
         le
         l e
 3,2 cm l  e 
         l   e
         l    e
         l     e
         l_-    e
         v-------z
          5,5 cm
<F+>

 7. Assim como no problema anterior, pode-se obter a rea do tringulo imaginando um retngulo, calcule, neste caso, o volume da 
figura espacial _`[no adaptada_`], imaginando um bloco retangular.

<212>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 8 a 14, pea orientao ao professor_`]

 8. Esta  a planta _`[no adaptada_`] do stio de dona Iara.
 a) Na escala 1:10.000, cada centmetro representa 10.000 centmetros. Nessa escala, 1 cm corresponde a quantos metros?
 b) Quantos centmetros quadrados, aproximadamente, tem a planta do stio?
 c) Quantos *hectares*, aproximadamente, tem o stio de dona Iara?

 Procure no dicionrio: hectare.

 9. Na figura _`[no adaptada_`], vamos supor que o quadrado {a{b{c{d tem lados iguais a 10 cm. Em seu interior foi desenhada a quarta parte de um crculo (figura chamada quadrante do crculo).
 a) Obtenha a rea aproximada do quarto de crculo contido no quadrado. (No esquea: estamos supondo que os quadradinhos da malha tm rea igual a 1 cm2.)
 b) Imagine o crculo completo de centro D e raio 10 cm. Qual  sua rea aproximada?
 c) A rea desse crculo , aproximadamente, quantas vezes a rea do quadrado {a{b{c{d?

 10. Esta  outra das figuras curvilneas que Leonardo da Vinci transformou em um retngulo de mesma rea.

_`[{figura no adaptada_`]

 a) Use compasso, rgua etc. e tente desenhar a figura em seu caderno. Comece desenhando um quadrado.
<p>
 b) Descubra como transformar a figura em um retngulo de mesma rea. Esboce um desenho para mostrar como se faz isso.
 c) Calcule a rea da figura supondo que o quadrado base tenha 10 cm de lado.
 d) Escreva em seu caderno uma frmula para a rea *y* da figura, em funo do lado *x* do quadrado base.

 11. Observe o mosaico _`[no adaptado_`]. Seus elementos, exatamente iguais, so construdos sobre uma malha quadriculada.
   Calcule a rea de um desses elementos supondo que a distncia {a{b (em linha reta) seja igual a 20 cm.
<213>
 12. Para calcular a rea de um trapzio _`[no adaptado_`], Adriana decomps a figura em dois tringulos retngulos e um retngulo.
<p>
  Depois, observou que cada tringulo _`[no adaptado_`] equivale  metade de um retngulo.
  Use a estratgia de Adriana e obtenha a rea do trapzio azul _`[no adaptado_`]. A unidade de rea  u2.
 13. Calcule a rea de cada figura _`[no adaptada_`]. A unidade de rea  u2.
 14. Para construir um estacionamento ser necessrio remover este barranco _`[no adaptado_`].
  Cada caminho carrega 7 m3 de terra. Quantas viagens devero ser contratadas? (Sim, h algumas contas, mas no muitas...)
<R->

<214>
 Frmulas para o clculo de reas

  Voc conhece vrias frmulas e sabe que elas resumem raciocnios e resultados. Aplicando-as,  possvel resolver problemas mais rapidamente.
<p>
   importante saber usar frmulas, mas tambm  importante entender o seu porqu, saber como foram deduzidas.  isso que nos faz compreender a Matemtica e nos dar bem com ela.
  Neste item, vamos tratar de frmulas que facilitam o clculo de reas. Para comear, vamos obter a frmula mais comum para calcular a rea dos paralelogramos. Essa frmula pode ser obtida por decomposio e recomposio da figura. Veja um caso simples:

<F->
      iccccccccccccccccccci
     i                   i
    i                   i
   i                   i 
  i                   i  
 i                   i
i:::::::::::::::::::i 
<F+>
<p>
<F->
      ipcccccccccccccccccci
     i l                 i
    i  l                i
   i   l               i 
  i    l              i  
 i     l             i
i:::::::::::::::::::i 
<F+>

<F->                   
      il  pcccccccccccccccccci
     i l  l                 i
    i  l  l                i
   i   l  l               i 
  i    l  l              i  
 i     l  l             i
i::::::b  h::::::::::::i 
<F+>

  Com essa estratgia obtemos um retngulo, cuja rea j sabemos calcular:

<F->
A=c.l    pccccccccccccccccccw
          l                 i_
          l                i _
        l l               i  _ 
          l              i   _
          l             i    _
          h::::::::::::i:::::j 
                   c
<F+>
<p>
  Agora observe: o comprimento *c* da base do retngulo  igual ao comprimento de um lado do paralelogramo. Mas ateno! O lado menor do retngulo no  igual ao lado menor do paralelogramo.

<R+>
_`[{o professor mostrando as figuras no quadro-de-giz, diz: "O lado menor do retngulo  igual  altura *h* do paralelogramo". O aluno fala: "*l* no  igual a *m*"_`]
<R->

<F->
         icccccccccccccccccci
        i _                 i
       i  _                i
      i   _ h             i m 
     i    _              i  
    i   _-_             i
   i::::::j::::::::::::i 
              c
<F+>
<p>
<F->
          pccccccccccccccccccw 
          l                 i_
          l                i _
        l l               i  _ 
          l              i   _
          l             i  _-_
          h::::::::::::i:::::j 
                 c
<F+>

  Concluso: obtemos a rea de um paralelogramo multiplicando a medida de sua base por sua altura:

<F->
      ipcccccccccccccccccci
     i l_-               i
    i  l                i
   i   l h             i  
  i    l              i  
 i     l_-           i
i::::::h::::::::::::i 
        c
A=c.h 
<F+>

<215>
   costume designar altura por *h*. Isso vem das lnguas francesa e inglesa: altura  *hauteur*, ou *height*, respectivamente.

<R+>
_`[{o menino observando um guindaste diz: "Eu sei o que  a minha altura ou a altura de um guindaste. Mas achei esquisito falar em altura do paralelogramo"_`]
<R->

  Vamos definir a altura de um paralelogramo. Primeiro, escolhemos o lado que ser a base. No caso do paralelogramo, qualquer lado serve como base. Feito isso, a altura  um segmento de reta perpendicular  base (ou ao seu prolongamento), traado de um vrtice oposto  base. Veja:

<F->
      ipcccccccccccccccccci
     i l                 i
    i  l altura         i
   i   l               i  
  i    l              i  
 i     l_-           i
i::::::h::::::::::::i 
        base
<F+>
<p>
  Tringulos e trapzios tambm tm alturas. Nos tringulos, a definio de altura  a mesma dada para os paralelogramos. Nos trapzios, somente os lados paralelos podem ser base.

<F->
          base
      ipccccccccce
     i l          e
    i  l altura    e
   i   l            e  
  i    l             e  
 i     l_-            e
i::::::h:::::::::::::::e 
          base
<F+>

<F->
      ie
     i l e
    i  l   e
   i   l h   e  
  i    l       e  
 i     l_-       e
i::::::h:::::::::::e 
       base
<F+>
<p>
  Voltemos s frmulas. Na Matemtica uma coisa puxa outra, que puxa outra, e assim vai.
  Pois bem, a partir da frmula anterior deduz-se uma outra. Acompanhe.

<216>
<R+>
 Considere um tringulo qualquer:

<F->
      ie
     i   e
    i      e
   i         e  
  i            e  
 i               e
i::::::::::::::::::e 
       base
<F+>

 Juntando ao tringulo {a{b{c o tringulo {a{b{c, que  igual a ele, formamos um paralelogramo.
<p>
<F->
          C                A
          iecccccccccccccccci
         i  e              i
        i     e           i 
       i        e        i
      i           e     i
     i              e  i
    i:::::::::::::::::i 
   A                B
<F+>

 A rea do paralelogramo  o produto das medidas da base e da altura: A=c.h.
 Portanto, a rea do tringulo : A=?c.h*2.

<F->
      ie
     i l e
    i  l   e
   i   l h   e  
  i    l       e  
 i     l_-       e
i::::::h:::::::::::e 
       c
<F+>
<R->

  Deduzimos uma nova frmula. Ela resume este resultado: a rea de qualquer tringulo  obtida multiplicando as medidas da base e da altura e dividindo o resultado por 2.
  Outras frmulas sobre clculo de rea aparecero na prxima Ao. Mas a, quem faz as dedues  voc.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Voc conhece a frmula da soma das medidas dos ngulos internos dos polgonos. Diga que frmula  essa. (Se esqueceu, procure no captulo 6.)
 b) Explique com suas palavras o que diz o texto a respeito das frmulas.
 c) H quem acredite que importante  decorar frmulas e saber us-las, sem que seja importante saber os seus porqus e conhecer suas dedues. E voc, o que pensa disso?
 d) Qual  a frmula da rea do paralelogramo? Explique em linhas gerais o seu porqu.
 e) Explique, com suas palavras, o que  altura do paralelogramo.
 f) Qual  a frmula da rea do tringulo? Por que  to parecida com a frmula da rea do paralelogramo? Por que se divide por 2 na frmula da rea do tringulo?
 g) Explique com suas palavras o que  altura de um tringulo.
 h) Quantas alturas um tringulo tem?
 i) O texto apresenta uma sequncia dedutiva, isto , uma sequncia em que de uma propriedade se deduz outra e, dessa, deduz-se outra ainda. Quais so essas propriedades?
<R->

<217>
 Ao/Investigao

<R+>
_`[{o professor diz: "Agora, voc no precisa de esquadro nem tesoura. Basta usar a cabea!"_`]
<R->
<p>
 Deduzindo frmulas

  Forme grupo com dois ou trs colegas. Primeiro, vocs leem estas instrues; depois, deduzem frmulas.
  Veja trs ideias para se obter uma frmula para o clculo da rea do trapzio:

<R+>
 1 ideia: Decompe-se o trapzio em dois tringulos retngulos e um retngulo:

<F->
          b
      ipcccccpe
     i l     l e
    i  l     l  e
   i   l   h l   e 
  i    r     l    e
 i x   l_-   l  y  e
i::::::h:::::h::::::e 
         B
<F+>
<p>
 2 ideia: Completa-se o trapzio para formar um retngulo:

<F->
     x       b       y
  lcccccicccccccecccccl
  l    i         e    l
  l   i           e   l h
  l  i             e  l
  l i               e l 
  li x               el
  i:::::::::::::::::::e 
             B
<F+> 

 3 ideia: Dado o trapzio, considera-se outro igual e, com os dois, monta-se um paralelogramo:

<F->
           b            B   
      ipcccccce ecccccccccccccccci
     i l       e e              i 
    i  l h      e e            i
   i   l         e e          i 
  i    r          e e        i 
 i     l_-         e e      i 
i::::::h::::::::::::e e::::i
           B            b
<F+>
<p>
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      icccccccecccccccccccccccccci
     i         e                i
    i           e              i
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  i               e          i
 i x               e        i
i:::::::::::::::::::e::::::i 
           B           b
<F+>
<R->

  Agora, veja trs ideias para se obter uma frmula para a rea do losango:

<R+>
 1 ideia: Decompe-se o losango em quatro tringulos retngulos iguais:
<p>
<F->
              ile
            i  l  e
          i    l    e
        i d2 l      e
      i        l        e
    i          l          e
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i::::::::::::::h::::::::::::::e
 e    D2    l             i 
   e           l           i
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           e   l   i
             e l i
              eli
<F+>

 2 ideia: Completa-se o losango para formar um retngulo:
<p>
<F->
 pcccccccccccccilecccccccccccccl
 l           i  l  e           l
 l         i    l    e         l
 l       i      l      e       l
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 l        e     l     i        l
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 l            e l i            l
 h:::::::::::::ebi:::::::::::::b
               D
<F+>

 3 ideia: Transforma-se o losango num retngulo de mesma rea:
<p>
<F->
<R->
              ile
            i  l  e 
          i    l    e      
        i      l      e          
      i        l        e       
    i          l          e
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       e       l       i        
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           e   l   i            
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              eli 
<F+>  
<p>
<F->
   pcccccccccccccilecccccccccccccl
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   i::::::::::::::h::::::::::::::e 
                 D
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<218>
 Deduo de frmulas

  Agora, para cada grupo, o professor indica uma das ideias relativas ao trapzio e outra relativa ao losango. Partindo delas, o grupo deduz uma frmula para a rea do trapzio e outra para a rea do losango.
  A rea do trapzio deve ser calculada em funo das medidas das bases B, *b* e da altura *h*. A rea do losango deve ser calculada em funo das medidas das diagonais D e *d*.
  Depois, os alunos de cada grupo mostram a frmula e os clculos feitos para obt-la ou, se no fizeram clculos, explicam como chegaram a ela.

<R+>
 Problemas e exerccios

 15. A professora desenhou as figuras no quadro:

 tringulo

<F->
      ipe
     i l  e
    i  l h  e  
   i   l      e  
  i    r::     e  
 i     l_-_       e
i::::::h::j:::::::::e 
       c
<F+>
<p>
 retngulo

<F->
        m    
   pcccccccccc
   l          _ 
   l          _
 n l          _  
   l          _   
   l          _
   l          _ 
   l          _
   l          _  
   v----------# 
<F+>

 trapzio

<F->
          x 
      ipcccccce
     i l       e
    i  l        e
 t i   lH       e z 
  i    r::       e
 i     l_-_        e
i::::::h::j:::::::::e 
          y   
<F+>
<p>
 paralelogramo

<F->
               a 
      ipcccccccccccccccccci
     i l                 i
  b i  l h              i
   i   l               i  
  i    l              i  
 i     l_-           i
i::::::h::::::::::::i 
<F+>

 losango

 A: diagonal maior
 B: diagonal menor
<p>
<F->
              ile
            i  l  e
          i    l    e
        i   B l      e
      i        l        e
    i          l          e
  i     A     l_-          e
i::::::::::::::h::::::::::::::e
 e             l             i 
   e           l           i
     e         l         i
       e       l       i
         e     l     i
           e   l   i
             e l i
              eli
<F+>

  Depois, pediu aos alunos que escrevessem a frmula da rea para cada figura, usando as variveis indicadas em cada uma. Observe os cadernos de dois alunos:

 Atring.=?bh*2
 Aparal.=ab
 Alosang.=?{a{b*2
 Aretng.=mn
 Atrap.=?xH+yH*2

 rea R=nm
 rea P=ah
 rea Trap.=?x+yH*2
 rea T=bh2
 rea L=AB

  Nos dois cadernos, ao todo, h apenas duas frmulas erradas. Quais so?

<219>
 16. Calcule, em seu caderno, as reas das figuras. O esboo serve apenas como esquema, porque as figuras esto fora de proporo. 
Na figura f), embora possa no parecer, foi dada sim a medida da altura.

_`[{figuras adaptadas_`]
 a) paralelogramo: altura 10,5 cm e base 17,3 cm
 b) tringulo: altura 35 mm e base 80 mm 
<p>
 c) paralelogramo: altura 3 cm e base 15 cm
 d) losango: diagonal maior 20 cm e diagonal menor 12,8 cm
 e) trapzio: base menor 4 m, base maior 9 m e altura 5 m
 f) tringulo retngulo: cateto menor 40 mm e cateto maior 50 mm

 17. Veja as informaes sobre um trapzio. A figura  s um esquema:

<F->
           b
      ipcccccce
     i l       e
    i  l        e
   i   l h       e 
  i    l          e
 i     l           e
i::::::h::::::::::::e 
           B
 b=8 cm
 B=12 cm
 rea =175 cm2
<F+>

  Qual  o valor de *h*? (Para responder, sugerimos que voc resolva uma equao de incgnita *h*.)

_`[{para as atividades 18 e 19, pea orientao ao professor_`]

 18. Observe a planta _`[no adaptada_`] do loteamento e responda em seu caderno:
 a) Na escala 1:1.000, cada centmetro representa quantos metros?
 b) Qual  maior: o lote 1 ou o 3? Para responder, faa as medidas necessrias na planta e calcule as reas. Use calculadora.

<220>
 19. Observe a figura _`[no adaptada_`] e depois responda:
 a) Considere os paralelogramos {a{b{c{d, {a{b{e{f e {a{b{g{h, todos com a mesma base {a{b. O que se pode afirmar sobre as reas desses paralelogramos? Explique sua resposta.
 b) Os permetros desses paralelogramos so iguais? Qual  o de menor permetro?

 Problemas e exerccios para casa

 20. Calcule as reas destes polgonos regulares _`[no adaptados_`].

_`[{o professor diz: "Para descobrir a medida de {a{d, lembre-se de que o hexgono regular  formado por 6 tringulos equilteros"_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 21. Calcule a altura de um trapzio, sabendo que suas bases medem 32 mm e 16 mm e que sua rea  igual a 408 mm2.
<p>
_`[{para as atividades de 22 a 26, pea orientao ao professor_`]

 22. Um tringulo _`[no adaptado_`] tem trs alturas.
  Considerando como base o lado {a{c, a altura correspondente  {b{j e a frmula da rea se escreve assim: a=?{a{c.{b{j*2.
 a) Como se escreve a frmula da rea se considerarmos base o lado {a{b?
 b) Faa as medidas na figura e calcule a rea do tringulo em milmetros quadrados de duas maneiras: considerando como base o lado {a{c e, depois, considerando como base o lado {a{b.

<221>
 23. Calcule em seu caderno a rea do tringulo da figura 
  _`[no adaptada_`].

_`[{o professor diz: "Neste caso, a altura cai fora da base!"_`]
<p>
 24. O tringulo {a{b{c da figura _`[no adaptada_`] tem 6 cm2 de rea.
  Quais so as reas dos tringulos {m{b{c, {p{b{c e {q{b{c? Explique sua resposta.
 25. O telhado desta casa _`[no adaptada_`]  de quatro guas.
  Duas delas so tringulos iguais.
  As outras duas so trapzios iguais.
  Para cobrir 1 m2 de telhado gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, h no telhado da casa? Para responder, voc dever efetuar vrios clculos. Use calculadora, se achar necessrio.
 26. Este quadriltero _`[no adaptado_`] tem diagonais perpendiculares e um s eixo de simetria. Ns o chamamos pipa. So conhecidos 
os comprimentos *a* e *b* de suas diagonais. Deduza uma frmula para a rea da pipa.
<R->

<222>
 O teorema de Pitgoras

  Em nossas casas ou apartamentos, quase todos os cmodos tm forma retangular. Isso significa que as paredes devem formar ngulo reto, como j se prev na planta, antes de as paredes serem levantadas. Podemos ler no livro *Descobrindo o teorema de Pitgoras* como os pedreiros obtm paredes formando ngulos retos:

  *O desenho de um ngulo reto no papel pode ser feito com esquadro e, s vezes, a olho. No cho de terra, porm,  mais difcil 
marcar com preciso cantos retos cujos lados devem ter vrios metros de comprimento. O que fazem ento os construtores?
  *Inicialmente, eles esticam um fio entre duas estacas, A e B, cravadas no cho. Depois, esticam um fio da estaca A at a estaca C, 
que no  cravada no cho. Um ajudante fica segurando-a at o mestre-de-obras dizer onde deve ser cravada. O mestre escolhe esse 
local a olho, baseado em sua sensibilidade e experincia.*

<F->
      C
      o
      l
      l
      l
      l
      o:::::::o 
      A       B
<F+>

  *A posio do fio {a{c precisa ser conferida, pois o mestre no pode confiar apenas em seu olhmetro. Ele no pode correr o 
risco de levantar paredes fora do esquadro, quer dizer, formando ngulos agudos ou obtusos. [...]
  *Para ter certeza de que os fios {a{b e {a{c formam um ngulo reto, o mestre e o ajudante fazem, por exemplo, o seguinte:
<p>
<R+>
  sobre o fio {a{b, marcam P a 3 m de A;
  sobre o fio {a{c, marcam Q a 4 m de A;
  finalmente, medem a distncia {p{q.
<R->
  *Para o ngulo ser reto, a distncia {p{q deve medir exatamente 5 m.*

<223>
<F->
      C
      o
      l
      l
      l
    Qle
      l e
      l  e
 4 m l   e
      l    e
      l     e
      l      e
     o:::::::e:::::::o 
     A 3 m  P      B
<F+>

<R+>
 IMENES, Luiz Mrcio; LELLIS, Marcelo. *Descobrindo o teorema de Pitgoras*. So Paulo: Scipione, 2000. p. 22-3. (Vivendo a Matemtica).
<R->

  O mestre-de-obras sabe que um tringulo com lados de 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades  um tringulo retngulo, isto , tem um ngulo reto oposto ao lado maior. Se o lado maior medir menos que 5 unidades, o *ngulo* oposto  *agudo*; se medir mais, o ngulo oposto  *obtuso*.

<R+>
 Procure no dicionrio: ngulo agudo, ngulo obtuso.
<R->

  Pedreiros e carpinteiros sabem que no tringulo cujos lados medem 3, 4 e 5 metros h um ngulo reto. O que muitos deles no puderam aprender  que esse fato  uma das consequncias do *teorema* mais famoso da Matemtica: o teorema de Pitgoras.

 Procure no dicionrio: teorema.

  Na Grcia antiga havia um grupo de pensadores, liderado por Pitgoras, que gostava de procurar padres numricos em tudo. Eles descobriram a relao entre as notas musicais e as fraes e, provavelmente, descobriram tambm os nmeros primos. Pois bem, estudando os tringulos retngulos esses pensadores chegaram a esta surpreendente concluso:
  Em todo tringulo retngulo, a soma das reas dos dois quadrados construdos sobre os lados menores  igual  rea do quadrado construdo sobre o lado maior.

_`[{figura no adaptada_`]

<224>
  Esse enunciado parece complicado? Se usarmos a linguagem algbrica, ele fica bem simples. Veja que os quadrados menores tm reas b2 e c2 e o quadrado maior tem rea a2. Nessas condies, o teorema pode ser resumido nesta frmula: b2+c2=a2.
<p>
  Note que o tringulo de lados 3, 4 e 5 satisfaz a relao b2+c2=a2, pois 32+42=
 =52 (ou seja, 9+16=25).

<R+>
_`[{o aluno diz: "Quer dizer, se o tringulo  retngulo, elevo os lados ao quadrado e a soma dos dois quadrados menores d o maior. 
D certo sempre?". O professor fala: "Sempre! Podemos provar que  verdade!"_`]
<R->

  Realmente, uma relao como essa, que nada tem de bvio, precisa ser provada para que possamos aceit-la. Usando nossos conhecimentos sobre lgebra e clculo de reas, vamos provar que ela  sempre verdadeira.
  Considere quatro tringulos retngulos iguais. Qualquer que seja o formato desses tringulos, podemos arrum-los assim:

<R+>
_`[{figura no adaptada_`]

Nos quatro tringulos retngulos iguais, o lado maior  *a* e os lados perpendiculares so *b* e *c*. No centro da figura, forma-se um quadrado de lado *a*. O conjunto todo forma um quadrado maior, de lado b+c.
<R->

  As reas dessas figuras so:
<R+>
  rea de cada tringulo: ?b.c*2
  soma das reas dos quatro tringulos: 4.?b.c*2=2bc
  rea do quadrado interior: a2
  rea do quadrado maior (ou da figura toda): b+c2
<R->
<225>
  A rea do quadrado maior  igual  soma das reas dos quatro tringulos com a rea do quadrado menor. Ou seja: b+c2=
 =4.?b.c*2+a2.
   Ou seja: b+c2=2bc+a2.
  Vamos simplificar essa igualdade. Primeiro, efetuamos o quadrado da soma b+c, como j vimos no captulo 10: b2+2bc+c2=
 =2bc+a2.
<p>
  Subtraindo 2bc dos dois lados da igualdade, resulta: b2+c2=
 =a2.
  E assim, deduzimos a relao pitagrica.

<R+>
_`[{o professor diz: "Essa  uma das maneiras de deduzir a relao de Pitgoras. H muitas outras"_`]
<R->

  No captulo anterior, sobre lgebra, dissemos que uma das aplicaes do clculo algbrico  na deduo de frmulas. Acabamos de ver um exemplo desse fato.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Como os pedreiros obtm ngulos retos quando vo levantar as paredes de uma casa?
 b) Explique com suas palavras a relao de Pitgoras. A que tipo de tringulo ela se refere?
 c) O que voc conhece sobre Pitgoras?
 d) Para deduzir o teorema de Pitgoras, usamos lgebra. Voc se lembra de alguma outra deduo em que se usa lgebra? Exemplifique.
 e) Voc  capaz de repetir a deduo apresentada da relao pitagrica?
 f) Que significa a palavra teorema?

<226>
 Problemas e exerccios

 27. Observe a figura _`[no adaptada_`] e responda em seu caderno:
 a) Qual  a rea de cada tringulo?
 b) Qual  a rea do quadrado verde?
 c) Qual  a rea do quadrado grande?
 d) Usando as letras *m*, *x* e *t*, traduza para a linguagem algbrica:
  *A rea do quadrado verde  igual  rea do quadrado grande, 
<p>
  menos quatro vezes a rea de um dos tringulos.*
 e) Na expresso algbrica obtida, efetue o quadrado da soma. Depois, subtraia os termos iguais dos dois lados. Que igualdade voc obtm no final?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 28. Calcule o lado desconhecido do tringulo da figura:

<F->
       le
       l  e
 5 cm l    e  x
       l     e
       l       e
       r::      e
       l_-_        e
       v--#----------e
           12 cm
<F+>
<p>
 Resoluo

  Uma vez que o tringulo  retngulo, vale a relao de Pitgoras:
 x2=52+122
 x2=25+144
 x2=169
  Existem dois nmeros cujo quadrado  169, um positivo e outro negativo. Mas, neste caso, *x* indica um nmero positivo, porque  medida de lado de um tringulo. Portanto, *x*  igual  raiz quadrada de 169, que  um nmero positivo.
 x=169
  Fazendo tentativas, conclui-se que x=13 cm.

 29. O carpinteiro precisa calcular o comprimento dos caibros do telhado:
<p>
<F->
          le
          l  e
  1,10 m l   e  
          l     e
          l       e
          r::      e
          l_-_        e
          v--#----------e
             2,95 m
<F+>

  Nesse caso, pode-se imaginar um tringulo retngulo. Usando o teorema de Pitgoras, descubra o comprimento do caibro. Use calculadora.

 30. Os lados de um tringulo retngulo tm nomes especiais. O lado maior chama-se hipotenusa. Os outros dois chamam-se catetos.

_`[{o professor diz: "Mas ateno:  s no tringulo retngulo que se usam esses termos"_`]
<p>
<F->
          le
          l  e
  cateto  l   e  
          l     e hipotenusa
          l       e
          r::      e
          l_-_        e
          v--#----------e
             cateto
<F+>

 a) Copie e complete a frase em seu caderno: *Em todo tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa  igual  soma dos '''*
 b) Em um tringulo retngulo, a hipotenusa mede 15 cm e um cateto mede 12 cm. Qual a medida do outro cateto?

<227>
 Problemas e exerccios para casa

 31. Uma estudante, ao saber que o tringulo de lados 3 m, 4 m e 5 m  retngulo, fez a seguinte *conjectura*: *Ser que todo 
tringulo em que as medidas dos lados so nmeros inteiros 
<p>
  consecutivos  um tringulo retngulo?*
 a) Faa o teste, examinando o tringulo cujos lados medem 6, 7 e 8 unidades. Ele  retngulo?
 b) A conjectura da estudante  correta ou no? Justifique sua resposta.

 Procure no dicionrio: conjectura.

 32. Em seu caderno, calcule *x*:

_`[{figuras adaptadas_`]

 a) retngulo com lados medindo 16 e 12; calcular a diagonal.
 b) retngulo com lados medindo 12 e *x*; e a diagonal medindo 13.
<p>
 33. Em seu caderno, calcule *x*:

_`[{figuras adaptadas_`]

 a) losango com diagonal maior medindo 30 e diagonal menor, 20. Calcular a medida do lado.
 b) quadrado com lado medindo 16, calcular a medida da diagonal *x*.

 34. Determine a rea de um tringulo retngulo sabendo que um dos catetos mede 12 m e a hipotenusa mede 20 m.
 35. Determine a rea do trapzio:

<F->
            12 m
        ipccccccccpe
       i l        l e 
 5 m i  l        l  e
     i   l        l   e
    i::::h::::::::h::::e 
    3 m            3 m
<F+>
<p>
 36. Lembra-se da experincia do final do captulo 6?

<F->
       o           o::::::::::o
                   l          _ 
                   l          _
                   l          _  
                   l          _
                   l          _ 
                   l          _
o::::::::::::o    o::::::::::o
<F+>

  Os polgonos so feitos com palitos de sorvete e tachinhas. O quadrado se deforma, sem alterar o comprimento dos lados. Ele se 
transforma num losango comum. O tringulo no se move,  rgido. Agora, veja este porto:
<p>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
      !:::::::::::::::
      l^             _
      l  ^           _
      l    ^         _
  90 l      ^ x     _
      l        ^     _
      l          ^   _
      l            ^ _
      v--------------#
           150 
<F+>

  Para que o porto no se deforme e ganhe rigidez, o carpinteiro deve colocar uma travessa de madeira de comprimento *x*, para 
criar um tringulo. Calcule o comprimento da travessa de madeira.
<R->
<p>
 Confira!
 
  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  aplicar recursos variados (decompor, recompor, completar) para calcular reas e volumes;
  aplicar as frmulas habituais para calcular a rea de tringulos e quadrilteros;
  explicar como foram obtidas as frmulas habituais de clculo de rea;
  enunciar o teorema de Pitgoras, apresentar algumas de suas aplicaes e us-lo em problemas.
<R->

<228>
<p>
 Um toque a mais

 Geometria das edificaes (1)

  Voc j viu uma casa _`[no adaptada_`] assim? Ela seria problemtica. Imagine por qu?
  O cho inclinado faria as pessoas escorregarem. Os moradores poderiam bater a cabea nas paredes inclinadas. Seria difcil pendurar um relgio nessas paredes... Os vos das portas ou janelas, no sendo retangulares, dificultariam o abrir e fechar. No   toa que no se constroem casas assim.
 ::::::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (1) TROTTA, Fernando; 
  IMENES, Luiz Mrcio; 
  JAKUBOVIC, Jos. *Matemtica: 3 fase, Telecurso 1 grau*. 10. ed. Rio de 
  Janeiro: Rio Grfica/
  /Braslia: Fundao Roberto Marinho/MEC/UnB, 1987. p. 254-7. Texto adaptado.
<R->
<F+>
<p>
  O comum  ter paredes verticais, pisos horizontais, janelas e portas retangulares. Para obter edificaes verticais e horizontais, os pedreiros e mestres-de-
 -obras usam principalmente dois instrumentos: o fio de prumo e o nvel de bolha.
<229>
  Uma maneira de verificar se um piso  horizontal consiste em jogar gua sobre ele. Se o piso no for inclinado, a gua no escorre para direo alguma. Outra maneira de verificar se um plano  horizontal  usar o nvel de bolha. H lquido dentro do visor e a posio da bolha de ar indica se o piso est na horizontal ou no nvel, como dizem os construtores.
  O fio de prumo consiste em um barbante com um peso preso em uma das pontas. Sustentado pela ponta livre, a direo do fio indica a direo vertical, que  a direo de queda dos corpos, atrados para o centro da Terra pela fora de gravidade.
  Fazendo paredes, pisos e vos de portas e janelas de acordo com as regras habituais e com auxlio dos instrumentos citados, os construtores exemplificam certos conceitos matemticos.

<R+>
_`[{quatro figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Uma parede vertical e um piso horizontal. Sugerem a ideia de planos perpendiculares.
 Legenda 2: O peitoril da janela e o cho, ambos horizontais, sugerem a ideia de reta paralela a um plano. 
 Legenda 3: O batente vertical da porta e o cho horizontal. Sugerem a ideia de reta perpendicular a um plano.
 Legenda 4: As duas paredes verticais opostas desse cmodo. Sugerem a ideia de planos paralelos.
<R->

<230>
  Viu s quantas ideias matemticas aparecem quando se faz uma construo? Ser que essas ideias ajudaram a construir casas ou foi a construo de casas que levou a Matemtica a criar esses conceitos? Provavelmente as duas coisas aconteceram. Muitas vezes, a origem de ideias matemticas est em atividades prticas do cotidiano. Da elas so estabelecidas na teoria, e muitas vezes voltam  vida prtica para influenci-la.
  Essas ideias matemticas so de grande utilidade, tendo uso em vrios campos, como no estudo de poliedros. Nesse caso, observamos que paralelismo e perpendicularismo no se limitam a situaes em que h verticais e horizontais.
  Veja, por exemplo, os dois cubos _`[no adaptados_`] de mesmo tamanho, que aparecem em posies diferentes:
<231>
  No cubo da esquerda, a face roxa  paralela  mesa e, portanto, est na horizontal. Sua face vermelha  vertical, de onde conclumos que as faces roxa e vermelha so perpendiculares entre si. No cubo da direita, as faces roxa e vermelha no esto na horizontal ou na vertical. No entanto, elas continuam sendo perpendiculares entre si.
  Para voc verificar se compreendeu os conceitos geomtricos que apresentamos, sugerimos um pequeno desafio. 
  Veja o bloco retangular da figura _`[no adaptada_`]. Em verde, destacamos o plano da face {c{b{f{g e, em laranja, o plano da face {e{f{g{h. H ainda duas retas destacadas: a reta {b{c e a reta {d{h.
  Copie em seu caderno e complete as sentenas usando as palavras paralela(o) ou perpendicular.
<R+>
  O plano em verde  ''' ao plano em laranja.
  O plano em verde  ''' ao plano da face {a{d{h{e.
  A reta {d{h  ''' ao plano em verde.
<p>
  A reta {d{h  ''' ao plano em laranja.
  A reta {d{h  '''  reta {b{f.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo

<232>
<p>
 Captulo 12

 Sistemas de equaes

 Ao

 Resolvendo quebra-cabeas

  Forme grupo com dois ou trs colegas para discutir e resolver os quebra-cabeas seguintes. Vale usar qualquer mtodo de resoluo. * importante registrar os raciocnios.*

<R+>
 1 QUEBRA-CABEA: Nas duas pesagens, h equilbrio da balana:

_`[{figuras adaptadas_`]
 1) balana em equilbrio: prato da esquerda: 2 latas de sardinhas e 1 lata de leo; prato da direita: 1 peso de 500 g, 1 peso de 400 g e 1 peso de 50 g.
 2) balana em equilbrio: prato da esquerda: 1 lata de leo; prato da direita: 1 peso de 500 g e 1 lata de sardinhas.

  Descubra quantos gramas tem uma lata de sardinhas.

 2 QUEBRA-CABEA: Veja o que a garota e o garoto dizem:

_`[{a garota diz: "Comi 1 pastel e tomei 1 caldo de cana. Gastei R$2,70". O garoto diz: "Comi 3 pastis e tomei 2 caldos de cana. Gastei R$6,60"_`]

  Descubra o preo de um pastel.

 3 QUEBRA-CABEA: Veja:

_`[{figuras adaptadas: 7 clices =2 xcaras e 1 copo_`]
 Legenda: O contedo da xcara e do clice enche o copo.
<p>
_`[{figuras adaptadas: 1 clice e 1 xcara =1 copo_`]
 Legenda: O contedo da xcara e do clice enche o copo.

  Quantos clices equivalem a um copo?

<233>
 4 QUEBRA-CABEA: Uma fbrica produz carrinhos de bebs e triciclos.

_`[{um triciclo e um carrinho de bebs_`]

  Hoje, os operrios produziram 11 unidades e, para mont-las, usaram 40 rodas. Quantos triciclos foram produzidos?
<R->

 Os sistemas e o mtodo da adio

  Para voc saber o que  um sistema de equaes, comearemos resolvendo um problema muito parecido com um dos quebra-cabeas da Ao anterior:
<p>
  Lcia comeu 2 sanduches e tomou apenas 1 suco. Gastou R$5,30. Qual  o preo de 1 sanduche?

<R+>
_`[{cartaz: 1 sanduche +1 suco por R$3,20_`]
<R->

 Resoluo

  Temos estas informaes:
<R+>
  no texto do problema: 2 sanduches e 1 suco custam R$5,30;
  no cartaz da lanchonete: 1 sanduche e 1 suco custam R$3,20.
<R->
  Percebemos que a diferena entre as duas informaes  1 sanduche e, tambm, R$2,10. Ou seja, o preo de 1 sanduche  R$2,10.
  Veja um modo matemtico de registrar esse raciocnio: a diferena entre as duas sentenas  obtida por uma subtrao. 
<p>
Subtramos a segunda sentena da primeira:

<R+>
preo de 2 sanduches + preo de 1 suco =5,30- preo de 1 sanduche + preo de 1 suco =
  =3,20= preo de 1 sanduche =
  =2,10.
<R->

<234>
  Esse registro fica mais simples usando lgebra. Chamamos *x* o preo de um sanduche e de *y* o preo de um suco. Traduzimos cada informao por uma equao com as incgnitas *x* e *y*.

<R+>
 preo de 1 sanduche + preo de 1 suco =3,20 :o x+y=3,20
 preo de 2 sanduches + preo de 1 suco =5,30 :o 2x+y=5,30
<R->

  Temos aqui um sistema de equaes: so duas equaes e duas incgnitas. Para descobrir o valor de *x*, subtramos as equaes, 
<p>
como havamos subtrado as sentenas:

<F->
2x+y=5,30
-?x+y=3,20*
:::::::::::::
x=2,10
<F+>

  Veja ainda uma variao desse procedimento: multiplicamos a segunda equao por -1 e somamos as duas equaes. Observe que isto  
a mesma coisa que subtrair a segunda equao da primeira, porque, como voc j aprendeu, subtrair  adicionar o oposto.

<R+>
_`[{a professora diz: "Dessa maneira, eliminamos o *y* e encontramos o *x*"_`]
<R->
<p>
 2x+y=5,30 e x+y=3,20

<F->
2x+y=5,30
+?-x-y=-3,20*
::::::::::::::::
x=2,10
<F+>

  Na resoluo do problema do preo do sanduche, voc aprendeu o que  um sistema de equaes. Viu tambm um mtodo para resolver sistemas de equaes.  o mtodo da adio. Para compreender melhor esse mtodo de resoluo, veja mais um exemplo:
 x+3y=16 e x-y=-4

<R+>
_`[{a professora diz: "Neste caso,  conveniente multiplicar a segunda equao por 3. Assim, somando 3y com -3y eliminamos esse *y*"_`]
<R->

<F->
x+3y=16
+?3x-3y=-12*
:::::::::::::::
4x=4
x=1
<F+>
<p>
<R+>
_`[{a professora diz: "Aqui, obtemos o valor de *x*"_`]
<R->

  Agora, vamos encontrar tambm o valor de *y*. Tomamos uma das equaes do sistema e nela substitumos o valor obtido 
para *x*:

<R+>
_`[{a professora diz: "Observe: no lugar de *x* escrevemos 1"_`]
<R->

 x-y=-4

 1-y=-4
 -y=-4-1
 -y=-5
 y=5

<235>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Antes da leitura do texto, voc pensou em quatro quebra-cabeas. Isso o ajudou a entender as ideias do texto?
 b) Na primeira resoluo do problema do preo do sanduche, uma sentena foi subtrada de outra. Voc usou essa ideia em algum dos quebra-cabeas?
 c) O que  um sistema de equaes?
 d) Por que a forma de resoluo apresentada no texto chama-se mtodo da adio? (Esse nome aparece no ttulo do item, notou?)
 e) Para resolver um sistema, podemos somar as equaes. Mas, para que se consiga achar uma das incgnitas, o que deve acontecer nessa soma?
 f) Compare as duas resolues do problema do preo do sanduche: de incio, a segunda sentena foi subtrada da primeira; depois, usando lgebra, uma equao foi multiplicada por -1 e depois somada  outra. Esses dois procedimentos so equivalentes?
<p>
 Problemas e exerccios

 1. A soma de dois nmeros  3 e a diferena entre eles  2.

_`[{o menino diz: "Um nmero  *x*. O outro  *y*". A professora diz: "E a diferena  x-y"_`]

 a) Em seu caderno, escreva as duas informaes do problema em forma de um sistema de equaes.
 b) Resolva o sistema e diga quais so esses dois nmeros.

 2. Resolva os sistemas em seu caderno:
 a) 3x+2y=58 e x+y=23
 b) 4x+3y=6 e 4x+y=2
<p>
 3. Resolva o sistema de equaes: 
 5x+2y=11 e 3x-7y=-18

 Resoluo

  Observando os coeficientes, percebemos que, neste caso, simplesmente somar ou subtrair as equaes no resolve, porque no conseguimos eliminar nenhuma das incgnitas. Mas, com um pequeno truque, superamos essa dificuldade.
  Para eliminar a incgnita *x*, faremos seus coeficientes tornarem-se *nmeros simtricos*. H um mtodo infalvel para isso. Observe:
 5x+2y=11
 3x-7y=-18

<F->
15x+6y=33
+?-15x+35y=90*
:::::::::::::::::::
41y=123
y=#,;:da=3
<F+>
<p>
_`[{a professora diz: "O coeficiente 3 da segunda equao multiplica a primeira. Notou? Troca-se o sinal do coeficiente 5 da primeira 
equao para multiplicar a segunda equao"_`]

 Procure no dicionrio: nmeros simtricos.

<236>
  Agora, obteremos o valor de *x*:
 5x+2y=11
 5x+2.3=11
 5x+6=11
 5x=5
 x=1
  Concluso: x=1 e y=3.

 4. Siga detalhadamente o processo de resoluo do exerccio anterior e resolva os sistemas seguintes.
 a) 5x+2y=9 e 3x-7y=-11
 b) 2x+3y=-11 e 3x+5y=-19
<p>
 5. Veja o esquema _`[no adaptado_`] das ruas e quarteires de um bairro planejado. Todos os quarteires so retngulos iguais. O caminho verde tem 510 m e o caminho laranja tem 345 m.
 a) Considerando o caminho laranja, pode-se escrever que x+3y=345. E o caminho verde, a qual equao ele corresponde?
 b) Qual  o comprimento *x* de cada quarteiro? E a largura *y*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 6. Invente um sistema de duas equaes e duas incgnitas. Mas ateno: a soluo do sistema deve ser x=5 e y=-2. Depois, troque seu sistema com o de um colega para que cada um resolva e confira o do outro.
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 7. Resolva em seu caderno os sistemas de equaes seguintes. *Dica*: no caso b), multiplique a primeira equao por 2 e a segunda por -3.
 a) 2x+y=1 e 3x-4y=29
 b) 3x+7y=13 e 2x+5y=9

 8. Faa o que  proposto:
 a) Deseja-se obter um sistema de equaes cuja soluo  x=12 e y=-7. Copie em seu caderno as sentenas a seguir, completando-as adequadamente para chegar ao sistema desejado:
 2x+y=''' e 3x-2y='''
 b) Esta segunda questo  similar  anterior. Complete as equaes do sistema sabendo que a soluo deve ser x=#=d e y=-#?b:
 4x+2y=''' e 12x-2y='''
 c) Voc j conhece a soluo do sistema anterior. Mesmo assim, para conferir, resolva-o.

 9. O dono de uma papelaria oferece os jogos de caneta e lapiseira que aparecem nas fotos. Para ajudar voc, 
informamos que a primeira foto permite escrever que x+y=10,80 (*x*  o preo de uma caneta e *y* o de uma lapiseira).
<237>
  Qual  o preo de uma caneta e o de uma lapiseira?

_`[{duas fotos adaptadas_`]
 1 foto: 1 caneta e 1 lapiseira: R$10,80
 2 foto: 2 canetas e 1 lapiseira: R$12,60

 10. Faa o que  pedido.
 a) Escreva em seu caderno a equao correspondente ao comprimento {a{b:

<F->
A   14 cm  B
o:::r:::r:::o
   x   y   y
<F+>
<p> 
 b) Escreva em seu caderno a equao correspondente ao comprimento {c{d:

<F->
C      25 cm       D
o:::r:::r:::r:::r:::o
   x   y   y   y   y
<F+>
 
 c) Quantos centmetros tem *x*? E *y*?

 11. Leia o dilogo entre a neta e o av:

_`[{o av e a neta conversam. O av diz: "Tenho *x* notas de 10 e *y* notas de 50, num total de 560 reais". A neta fala: "Ento, 10x 
mais 50y d 560". O av pergunta: "Quanto  *x*? E quanto  *y*?"_`]

 a) Apresente dois possveis valores de *x* e de *y*, de acordo com a informao do av.
 b) O av lembrou-se de algo mais:

_`[{o av diz: "Esqueci de dizer: *x* mais *y* d 20!". A neta fala: "Ah! Agora tenho um sistema de duas equaes e duas incgnitas"_`]

  Escreva em seu caderno o sistema de equaes citado pela neta.
 c) Descubra os valores de *x* e de *y*.

 12. Considere este sistema de equaes:
 2x+5=y+10 I e y-3=x-4 II
  Antes de somar as equaes,  preciso organiz-las:

 (I) 
 2x+5=y+10
 2x-y+5=10
 2x-y=5

 (II) 
 y-3=x-4
 -x+y-3=-4
 -x+y=-1

 a) Agora, o sistema de equaes ficou mais simples. Resolva-o.
 b) Organize as equaes e resolva os dois sistemas seguintes. Naquele em que h fraes nos coeficientes, multiplique a equao por 
um mltiplo comum dos denominadores.
 2x+4=y e -7+y=-4x
 x2=y3 e x+y=45

 13. John possua *x* dlares e Mary possua *y* dlares. A soma dessas quantias era 111 dlares. John ganhou 20 e Mary gastou 20 e 
ficaram com quantias iguais. Quanto possua cada um no incio da histria?
<R->

<238>
 Os sistemas e o mtodo da
  substituio

  Vamos prosseguir o estudo de equaes resolvendo este problema: nas duas pesagens, h equilbrio da balana; descubra as massas *x* e *y*.

<R+>
_`[{duas balanas em equilbrio adaptadas_`]
 1 balana: Prato da esquerda: 2 pesos *x*, 1 peso *y*; prato da direita: 1 peso de 50 g, 1 peso de 400 g e 1 peso de 
  500 g.
 2 balana: Prato da esquerda: 1 peso *y*; 1 prato da direita: 1 peso de 500 g e 1 peso *x*.
<R->

  Vamos resolver o quebra-cabea. Observe a pesagem da direita. Note que *y* equivale a 500 g mais *x*. Por isso, fazemos uma substituio:

<R+>
_`[{balana em equilbrio adaptada_`]
 Prato da esquerda: 3 pesos *x* e 1 peso de 500 g; prato da direita: 1 peso de 500 g, 1 peso de 400 g e 1 peso de 50 g.
<R->

  Depois, uma simplificao:
<p>
<R+>
_`[{balana em equilbrio adaptada_`]
 Prato da esquerda: 3 pesos *x*; prato da direita: 1 peso de 400 g e 1 peso de 50 g.
<R->

  O restante  simples: se 3x=450 g, ento x=#?}c g=150 g.
  Agora, vejamos o mesmo raciocnio registrado na forma de um sistema de equaes:
<R+>
  Cada pesagem  traduzida para uma equao.

_`[{duas balanas em equilbrio adaptadas_`]
 1 balana: Prato da esquerda: 2 pesos *x* e 1 peso *y*; prato da direita: 1 peso de 500 g, 1 peso de 400 g e 1 peso de 50 g: 2x+y=950 I
 2 balana: Prato da esquerda: 1 peso *y*; prato da direita: 1 peso de 500 g e 1 peso *x*: y=500+x {{ii

<239>
  Na equao I, substitumos *y* por 500+x, como fizemos na resoluo anterior:
 2x+y=950
 2x+500+x=950

_`[{a professora diz: "Assim, nesta equao ficamos apenas com a incgnita *x*"_`]

  Resolvemos a equao obtida:
 2x+500+x=950
 3x+500=950
 3x=450
  Portanto: x=150 g.
  Agora, obtemos o valor de *y* usando a equao II:
 y=500+x
 y=500+150
 Logo: y=650 g.
<R->

  Resolvendo esse quebra-cabea, voltamos a usar um sistema de equaes. E voc viu mais um mtodo para resolver sistemas: o mtodo da substituio. Nessa resoluo, a equao II forneceu a incgnita *y* em funo de *x*. Esse valor substituiu *y* na equao I, de modo que esta ficou apenas com a incgnita *x*.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Vimos um novo mtodo para resolver sistemas de equaes.  o mtodo da substituio. Por que ele tem esse nome?
 b) Como  que se resolve um sistema por substituio?
 c) Voc acha que qualquer sistema pode ser resolvido por substituio?
 d) Em que consiste o mtodo da adio?
 e) Veja o sistema: 2x+3y=10 e x-3y=27.
   mais rpido resolv-lo por adio ou por substituio?
 f) Veja o sistema: x=7-y e x+3y=17.
   mais rpido resolv-lo por adio ou por substituio?

<240>
<p>
 Problemas e exerccios

 14. Em seu caderno, resolva os sistemas pelo mtodo da substituio:
 a) y=x+5 e x+y=1
 b) x=y e 7x+1+7y=17

 15. Resolva o sistema 3x+2y=12 I e y-17=4x II pelo mtodo da substituio.

 Resoluo

_`[{o rapaz diz: "Como substituo? No sei quanto  *x* nem quanto  *y*"_`]

  Na equao II, expressamos *y* em funo de *x*:
 y-17=4x II
 y=17+4x
  Agora, na equao I, substitumos *y* por 17+4x.
 3x+2y=12 I
 3x+217+4x=12
 3x+34+8x=12
<p>
 11x=12-34
 11x=-22
 x=-2
  Finalmente, calculamos *y*:
 y=17+4x
 y=17+4.-2
 y=17-8
 y=9
  Logo, a soluo do sistema  x=-2 e y=9.

 16. Resolva os sistemas seguintes pelo mtodo da substituio. *Dica*: em b), o mais fcil  obter *y* em funo de *x* na primeira equao: y=3x+2.
 a) x+y=42 e x+2y=64
 b) 3x=y-2 e 2x-1=y-x

 17. Um programa de rdio props este enigma:

_`[{o radialista diz: "Ns dois juntos temos 35 mas. Voc tem #;e do que tenho. Quantas eu tenho?"_`]

  Quem resolvesse o enigma em meia hora ganharia um prmio, mas no houve vencedor. Tente resolver o enigma, apesar de no concorrer 
a prmio algum. (Vale usar um sistema de equaes, mas  claro que voc tambm pode usar outros recursos.)

 18. Perguntei a idade de minha professora de Matemtica. Ela contou e falou tambm a idade da filha, mas disse isso de maneira matemtica:
  -- A soma de minha idade com a de minha filha  44 anos. Dois anos atrs, eu tinha o triplo da idade dela.
 a) Traduza a primeira frase da professora por uma equao; *x*  a idade da professora e *y*, a de sua filha.
 b) Faa o mesmo com a segunda frase. Note que dois anos atrs a idade da professora era x-2 anos!
<p>
 c) Resolva o sistema obtido e d a idade da professora e a de sua filha.

<241>
 Problemas e exerccios para casa

 19. Resolva, em seu caderno, pelo mtodo da substituio:
 a) x=y+1 e x-2y=5x
 b) x+y=#?f e x=y+#,f
 c) x-y+5=3x+2 e 2x-7=7

 20. Ao resolver um sistema de equaes, Luclia percebeu que podia fazer uma substituio especial. Veja o que ela anotou:
 y+x=3
 y+x+2y=5

_`[{a menina circulou o 3 na 1 equao e o y+x na 2 equao_`]

  Resolva o sistema, aproveitando a ideia de Luclia.
<p>
 21. Para resolver um sistema de equaes, s vezes a adio  o melhor mtodo e, outras vezes, a substituio  melhor. Resolva os sistemas seguintes pelo mtodo que julgar mais conveniente:
 a) 3x+55y=12 e 9x-55y=-8
 b) x=3y+5 e 3y+x=3
 c) 2x-4-5=3y-2 e x=y2

 22. Suponha que a linha vermelha tenha 8,6 cm e a azul, 11,2 cm.

Legenda:
 ** -- representa a extenso da linha vermelha e a extenso restante representa a linha azul.

<F-> 
             y
                 _
                _        _
       x      x _      x _
                _--------_
                     y
<F+>

  Quanto mede *x*? E *y*?

 23. Descubra as medidas *x* e *y*. Lembre-se do que voc j sabe sobre ngulos de polgonos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 24. Acompanhe a conversa dos irmos:

_`[{o menino diz: "Martinha, voc tem 60% de minha idade. Trs anos atrs, eu tinha o dobro da sua idade"_`]

  A menina  muito jovem para entender os clculos do irmo, mas voc no . Quantos anos tem cada um? 
  *Dica*: 60% correspondem a 0,6 ou a #:e.
<R->

<242>
<p>
 Problemas

  A fbrica de balas Pingo de Mel lanou dois sabores de bala: leite e coco.

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 pacote de balas de coco: 40 balas -- R$4,80
 pacote de balas de leite: 40 balas -- R$12,00
 pacote de balas de coco e leite: 40 balas -- R$7,00
<R->

  As balas de leite no tiveram sada por serem muito caras. Para no perder a produo, o dono da fbrica resolveu lanar embalagens contendo os dois sabores. Assim, o preo no seria to alto.
  Ele decidiu que cada pacote misto deveria custar R$7,00 e ficou com o seguinte problema: quantas balas de cada tipo deveria ter cada embalagem?
<p>
  Para resolver esse problema, o empresrio pediu a ajuda da contadora da fbrica. Veja a soluo que ela apresentou:

  Balas de leite
 Preo de uma bala: 12,0040=0,30
 Logo, *x* balas custam 0,3x

  Balas de coco
 Preo de uma bala: 4,8040=0,12
 Portanto, *y* balas custam 0,12y

<R+>
_`[{a contadora diz: "No pacote misto, h *x* balas de leite e *y* de coco. E so 40 balas por pacote"_`]

  Pacote misto
 custo: 0,3x+0,12y=7
 balas: x+y=40

  Resoluo do sistema de equaes
 0,3x+0,12y=7 e x+y=40
<R->
<p>
<F->
30x+12y=700
+?-12x-12y=-480*
:::::::::::::::::::::
18x=220
<F+>

 Logo, x=22018=12,2...

  Como *x* indica o nmero de balas, seu valor deve ser inteiro. Portanto, cada embalagem ter 12 balas de leite e 28 balas de coco (pois 40-12=28). Nesse caso, o pacote misto deveria custar 12.0,30+28.0,12=6,96. Esse valor, arredondado, corresponde a R$7,00.
<243>
  Voc viu como resolver o problema das balas usando um sistema de equaes. Problemas desse tipo so muito comuns; s vezes, so chamados problemas sobre misturas. Por isso, procure entender bem o mtodo de resoluo.
  A seguir, vamos propor mais alguns problemas em que os sistemas de equaes podem ser usados. No 
<p>
entanto, se voc achar algum outro mtodo de resoluo mais simples, use-o tambm!

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Por que a fbrica de balas Pingo de Mel resolveu fazer pacotes misturando balas de leite e de coco?
 b) Que mtodo foi usado na resoluo do sistema de equaes: o da adio ou o da substituio?
 c) Colocando 13 balas de leite e 27 balas de coco na embalagem, o preo do pacote seria exatamente R$7,00?
 d) Supondo que o pacote misto seja vendido por R$7,00, para a fbrica  mais vantajoso colocar 12 ou 13 balas de leite na embalagem?
 e) Se voc fosse o dono da fbrica, que opo faria: 12 ou 13 balas de leite?
 f) A histria das balas leva a um tipo de problema que costuma ser chamado problema sobre misturas. Por que esse nome?

 Problemas e exerccios

 25. O professor de Cincias aplicou um teste muito especial. So 40 questes e, para cada questo certa, o aluno ganha 5 pontos. Mas, para cada questo errada, o aluno perde 2 pontos.
 a) Quantos pontos faz quem acerta 35 e erra 5 questes?
 b) Quantos pontos faz quem acerta *x* questes e erra *y*? A resposta  uma expresso algbrica com variveis *x* e *y*.
 c) Malu fez o teste e obteve 109 pontos. Escreva em seu caderno o sistema de equaes correspondente a esse caso. *Dica*: uma das equaes  x+y=40.
 d) Resolva o sistema e diga quantas questes Malu acertou e quantas errou.
<p>
 26. No zoolgico, h cisnes e girafas. So 96 cabeas e 242 patas. Quantos so os cisnes?
  E as girafas? *Sugesto*: considere *x* cisnes e *y* girafas. Depois, pense: quantas patas tm os *x* cisnes? E as *y* girafas?
 27. Misturando lcool, que custa R$1,50 por litro, e gasolina, que custa R$2,70 por litro, produziram-se 100 litros de um combustvel cujo preo  R$1,80 por litro. Quantos litros de lcool h na mistura?
 28. Um nmero natural de dois algarismos pode ser representado assim: 10x+y.
 *x* dezenas
 *y* unidades
  Esse nmero, menos o nmero que se obtm trocando a ordem dos algarismos, vai dar 45. Descubra qual  o nmero, sabendo que a soma de seus algarismos  11.
<244>
<p>
 29. Leia a histria:

_`[{histria em quatro quadrinhos_`]
 1 quadrinho: A menina l: "Uma pessoa tem vinte moedas de vinte e de cinquenta centavos".
 2 quadrinho: Ela continua lendo: "Se os vinte centavos fossem cinquenta e se os cinquenta fossem vinte, ela teria noventa centavos mais do que tem agora... Quantas moedas de vinte centavos e quantas de cinquenta centavos ela tem?".
 3 quadrinho: A menina fica observando o que leu.
 4 quadrinho: A menina grita: "SOCORRO!".

  A garota desesperou-se. Ajude-a tentando resolver o problema.

 30. Invente um problema para ser resolvido por um sistema de duas equaes e duas incgnitas. Pode ser parecido (mas no igual!) 
com um problema deste captulo. Depois, voc troca o seu problema com o de um colega e cada um resolve o do outro. Para correo, 
destroquem.

 Problemas e exerccios para casa

 31. Para desenvolver um pouco mais sua habilidade de clculo algbrico, convm resolver um ou outro sistema de equaes mais trabalhoso, como este:
 3x+5y=4y+x+3 e ?x+y*2-1=-x4
  Voc sabe resolv-lo?

 Resoluo

 Passo 1: vamos reduzir a primeira equao:
 3x+5y=4y+x+3
 2x+5y=4y+3
 2x+y=3
<p>
 Passo 2: vamos reduzir a segunda equao:
 ?x+y*2-1=-x4
 2x+2y-4=-x
 3x+2y=4

 Passo 3: adio ou substituio? Aqui, adio  melhor:
 2x+y=3 e 3x+2y=4 

<F->
-4x-2y=-6
+?3x+2y=4*
::::::::::::::
-x=-2
x=2
<F+>

 Passo 4: clculo de *y*:
  Se 2x+y=3, ento 4+y=3.
 y=-1

 Resposta: x=2 e y=-1.

 32. Agora  com voc. Com base no exemplo anterior, resolva em seu caderno:
 a) 2x+y3=10-y+2 e y2=?7-x*4
<p>
 b) 3y2+5x=4x+y-6 e 1-?y+x*2=x4

<245>
 33. Veja no texto o problema da fbrica de balas Pingo de Mel. Se o preo do pacote misto, com 40 balas, fosse fixado em cerca de R$6,00, quantas balas de cada tipo deveriam ser colocadas no pacote?
 34. Um comerciante compra no exterior dois tipos de produtos. Cada produto do tipo I custa 10 dlares e do tipo II, 15 dlares. Se uma compra de 35 produtos custou 400 dlares, quantos produtos de cada tipo foram comprados?

 35. Vamos pensar em nmeros naturais de trs algarismos.
 a) Se o nmero tem *x* centenas, zero dezena e *y* unidades, como podemos represent-lo?
 b) Imagine o nmero que voc representou escrito ao contrrio. Subtraindo esse segundo nmero do primeiro, voc obtm 396.
  Escreva em seu caderno a equao correspondente a essa informao.
 c) Sabendo que x+y=10, descubra qual  o primeiro nmero representado.

 36. A quadrilha dos irmos Metralha sequestrou a cadelinha de dona Miluca e exigiu um resgate de R$9.450,00, que deveria ser pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais, num total de 120 notas.
 a) Quantas notas de cada tipo os sequestradores pediram?
 b) As quantidades de notas pedidas visavam permitir que os criminosos dividissem igualmente cada tipo de nota. Sabendo disso, voc  capaz de descobrir quantos so os membros da quadrilha?
<p>
 37. Um remdio  vendido em comprimidos de 1,0 g, mas 0,3 g so apenas acar. As substncias ativas do comprimido so duas, uma delas custando R$2,00 o grama e a outra custando R$5,00 o grama. Se o custo dessas substncias em cada comprimido  R$2,00, qual a quantidade de cada uma no comprimido?
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  resolver sistemas de duas equaes e duas incgnitas pelos mtodos da adio e da substituio;
  resolver problemas com o uso de sistemas de equaes.
<R->

<246>
<p>
 Um toque a mais

 Arquimedes e a coroa do rei

  Quais foram os maiores matemticos da histria?  difcil dizer, mas Gauss e Arquimedes ficariam entre os mais votados. E os maiores fsicos, quais seriam? Provavelmente, Einstein, Newton e... Arquimedes (de novo!) estariam entre os primeiros.
  Arquimedes deve ter sido muito criativo para figurar nas duas listas, no acha? Arquimedes foi matemtico, fsico e inventor. Nasceu em 287 e morreu em 212 antes de Cristo. Viveu toda sua vida em Siracusa, uma cidade fundada pelos gregos, que fica na Ilha da Siclia e  atualmente territrio italiano.

<R+>
_`[{foto descrita por legenda_`]
 Legenda: Runas de um grande anfiteatro grego na cidade de 
  Siracusa, na ilha da Siclia, Itlia, 2005.
<R->
<p>
  Entre seus trabalhos matemticos mais conhecidos est a descoberta da frmula do volume da esfera e um mtodo para calcular o nmero indicado pela letra grega ^p (l-se pi; voc conhecer esse nmero no prximo captulo). V=#c^pR3
  Em Fsica, so famosos seus estudos sobre corpos flutuantes, engrenagens, roldanas e alavancas. Aparentemente, foi ele o inventor das rodas dentadas ligadas por correntes, que tm uso em motores e at nas bicicletas atuais.
  Seu lado de inventor esteve em evidncia quando Siracusa foi atacada pelos romanos. Arquimedes projetou, ento, diversas mquinas de guerra, entre elas catapultas que lanavam enormes pedras sobre as tropas inimigas. Conta-se at que, usando espelhos e lentes, ele concentrou os raios solares sobre as velas dos navios romanos, incendiando boa parte da frota inimiga.
  Graas a essas armas prodigiosas, Siracusa resistiu ao cerco romano por trs anos. Sitiada, foi vencida pela fome. Ao ocupar a cidade, o comandante romano, impressionado com as mquinas que enfrentara, deu ordens para que protegessem Arquimedes, cuja genialidade no poderia ser desperdiada. Entretanto, sem saber de quem se tratava, um soldado o matou.
<247>
  Uma das mais interessantes faanhas de Arquimedes foi o caso da coroa do rei. O monarca de Siracusa havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro praticamente puro. Recebeu um trabalho magnfico, mas que o deixou desconfiado, pois parecia muito leve para ser de ouro puro. Teria o ourives se atrevido a enganar seu rei?
  O rei pediu a Arquimedes que estudasse a coroa, que descobrisse de que era feita, mas sem danific-la de forma alguma, porque, afinal, tratava-se de uma obra de arte. Respeitando essa condio, como seria possvel atend-lo?
  Vamos contar como o problema foi solucionado. Para a histria ficar mais compreensvel, tomamos a liberdade de adotar unidades de medida modernas, que ainda no existiam naquele tempo. Os valores das medidas tambm foram inventados, porque no restou nenhum registro dos verdadeiros. No restante, a histria parece ser verdica.
  Arquimedes sabia que 1 kg de ouro tem um volume de aproximadamente 50 cm3 e verificou que a coroa tinha 2 kg. Assim, se ela fosse feita de ouro, seu volume deveria ser 100 cm3. Mas aqui est a dificuldade. Como descobrir esse volume? No h frmula matemtica para determinar volumes de peas to irregulares quanto uma coroa, repleta de detalhes rendilhados. Arquimedes estava no banho quando percebeu que, mergulhando seu corpo na banheira, fazia o nvel de gua subir. Nesse instante, teve a revelao! Diz a lenda que saiu nu pelas ruas de Siracusa gritando entusiasmado Heureka! Heureka!, cuja traduo  Achei! Achei!. Mas o que teria ele achado?
  Ele havia encontrado a maneira de medir o volume da coroa usando um recurso simples: mergulhar a coroa num tanque com gua! Imagine que tenha sido assim:

<R+>
_`[{duas figuras adaptadas_`]
 1 figura: Um tanque com gua tem: 20 cm de comprimento, 14 cm de largura e 16 cm de altura da gua.
 2 figura: Um tanque com gua e uma coroa no seu interior tem: 20 cm de comprimento, 14 cm de largura e 16,5 cm de altura da gua.
<R->

  O aumento do nvel da gua lhe permitiria calcular o volume da coroa e, assim, resolver o problema.
  Neste ponto, ns paramos de contar a histria e deixamos para voc a tarefa de termin-la:
<R+>
 a) Examine as figuras e determine o volume da coroa.
 b) Essa coroa  de ouro macio? Por qu?
 c) Suponha que essa coroa seja feita de ouro e prata. O volume de 1 kg de prata  100 cm3. O de 1 kg de ouro, voc j sabe. Com 
essas informaes, use um sistema de equaes e descubra quantos quilogramas de prata e quantos de ouro foram gastos para fazer a 
coroa.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo

<248>
<p>
 Captulo 13

 Geometria experimental

  ou no  proporcional?

  Observando as figuras, nota-se que quanto maior  o lado de um quadrado, maior  a sua diagonal.

<R+>
_`[{trs figuras adaptadas_`]
 1 figura: Um quadrado de lado 2 cm com a diagonal d1 traada.
 2 figura: Um quadrado de lado 3 cm com a diagonal d2 traada.
 3 figura: Um quadrado de lado 4 cm com a diagonal d3 traada.
<R->

  Ser que o aumento da diagonal  proporcional ao aumento do lado? Em outras palavras, ser que se o lado dobra a diagonal tambm dobra, se o lado triplica a diagonal tambm triplica, e assim por diante?
  Para responder, vamos calcular a diagonal de cada quadrado usando o teorema de Pitgoras.

 d12=22+22
 d12=8
 d1=8
 d1=?22.2*=22

 d22=32+32
 d22=18
 d2=18
 d2=?32.2*=32

 d32=42+42
 d32=32
 d3=32
 d3=?24.2*=42

  Temos, ento, esta tabela:
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l medida do    _ medida da    _
 l lado         _ diagonal     _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 2           _ 22^=2,8 _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 21,5=3   _ 32^=4,2 _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 22=4     _ 42^=5,6 _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j

  Comparando os aumentos das medidas dos lados e os das diagonais, pode-se concluir que, nos quadrados, as diagonais so diretamente proporcionais aos lados.

<249>
<R+>
_`[{a aluna diz: "Se o lado duplica, a diagonal tambm duplica". O professor fala: "Note tambm que a diagonal  sempre o lado vezes 
2". O aluno comenta: "A diagonal no tem originalidade! Muda em funo do lado e da mesma maneira que ele!"_`]
<R->

  Vimos que h proporcionalidade na relao entre diagonal e lado do quadrado. Isso era de se esperar, porque cada quadrado maior  uma ampliao perfeita do menor e, nesses casos, todos os comprimentos da figura menor so multiplicados por um mesmo nmero para formar a figura maior. Em Matemtica, quando uma figura geomtrica  ampliao perfeita de outra, diz-se que as duas figuras so *semelhantes*. Repare que, na Matemtica, *semelhante* no significa apenas *parecido*.
  Agora, ateno! Nas ampliaes, nem todas as medidas aumentam de maneira diretamente proporcional. Considere, por exemplo, a rea.

<R+>
_`[{trs figuras adaptadas_`]
 1 figura: Um quadrado de lado 2 cm e A1=4 cm2.
 2 figura: Um quadrado de lado 3 cm e A2=9 cm2.
 3 figura: Um quadrado de lado 4 cm e A3=16 cm2.

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l medida do    _ rea         _
 l lado         _              _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 2           _ 4           _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 21,5=3   _ 42,25=9  _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 22=4     _ 44=16    _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j
<R->

  As reas aumentam, mas no na mesma proporo que os lados.
  Analisando medidas de lados e de diagonais e as reas de quadrados, observamos uma propriedade da ampliao: os comprimentos aumentam proporcionalmente. Nos problemas, propomos que voc examine algumas outras situaes e tente descobrir propriedades relacionadas  proporcionalidade. Isso o levar a concluses interessantes e teis.

<R+>
_`[{o professor diz: "Voc far uma investigao cientfica de propriedades matemticas. Ser preciso observar, medir, tirar 
concluses". A aluna fala: "Como fazem os cientistas"_`]

<250>
 Conversando sobre o texto

 a) Na tabela a seguir, os nmeros da coluna B so diretamente proporcionais aos da A. Entre eles, que relaes voc observa?

 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 15 _
 r:::::w:::::w
 l 10 _ 30 _
 r:::::w:::::w
 l 30 _ 90 _
 h:::::j:::::j

 b) D um exemplo de grandezas diretamente proporcionais.
 c) Explique com suas palavras o que so grandezas diretamente proporcionais.
<p>
 d) Quanto maior  o nmero de lados de um polgono, maior  a soma das medidas de seus ngulos internos (veja o captulo 6). H proporcionalidade direta nessa variao?
 e) O que so figuras geomtricas semelhantes?
 f) Na ltima figura do texto, o professor fala em investigao cientfica.
  Quais caractersticas desse tipo de investigao ele menciona?

 Problemas e exerccios

 1. Calculando mentalmente, complete as tabelas em seu caderno de forma que os nmeros da coluna da esquerda sejam diretamente 
proporcionais aos da direita. *Dica*: verifique por quanto  multiplicado um nmero da esquerda para obter o nmero abaixo dele; se 
isso for difcil, verifique por quanto  multiplicado o nmero da esquerda para 
<p>
  obter o correspondente da coluna da direita.
 a)
 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 7  _
 r:::::w:::::w
 l 15 _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 25 _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 50 _ ''' _
 h:::::j:::::j

 b)
 !:::::::::::::
 l A   _ B    _
 r::::::w:::::::w
 l 4   _ 8    _
 r::::::w:::::::w
 l 7,3 _ '''   _
 r::::::w:::::::w
 l 9,1 _ '''   _
 r::::::w:::::::w
 l '''  _ 32,6 _
 h::::::j:::::::j

 c)
 !:::::::::::::
 l A  _ B     _
 r:::::w::::::::w
 l 1  _ 3   _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 23 _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 3     _
 r:::::w::::::::w
 l 7  _ '''    _
 h:::::j::::::::j

 d)
 !::::::::::::::
 l A    _ B    _
 r:::::::w:::::::w
 l 6    _ 18   _
 r:::::::w:::::::w
 l 9    _ '''   _
 r:::::::w:::::::w
 l 10,5 _ 31,5 _
 r:::::::w:::::::w
 l '''   _ 63   _
 h:::::::j:::::::j
<p>
 e)
 !::::::::::::
 l A   _ B   _
 r::::::w::::::w
 l 0,8 _ '''  _
 r::::::w::::::w
 l 1,2 _ 0,3 _
 r::::::w::::::w
 l 2,0 _ '''  _
 r::::::w::::::w
 l 3,2 _ '''  _
 h::::::j::::::j

_`[{para as atividades de 2 a 5, pea orientao ao professor_`]

 2. Voc vai medir segmentos de reta no barquinho e, depois, no barco maior, que  o desenho ampliado do barquinho.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 a) No caderno, copie e complete a tabela:
<p>
!::::::::::::::::::::::::::
 l barquinho  _ barco maior  _
 l cm       _ cm         _
 r::::::::::::w::::::::::::::w
 l A{b=1,8  _ A{b=...   _
 r::::::::::::w::::::::::::::w
 l A{c=2,0  _ A{c=...   _
 r::::::::::::w::::::::::::::w
 l D{e=...   _ D{e=...   _
 h::::::::::::j::::::::::::::j

 b) Desconsiderando pequenos erros de medida, os comprimentos do barco maior so diretamente proporcionais a seus correspondentes do 
barquinho? Por qu?
<251>
 c) Mea os ngulos :?{b{a{c* e :?{b{a{c*. As medidas dos ngulos esto na mesma proporo que os segmentos?
 d) A rea do tringulo {a{b{c  quantas vezes a rea do tringulo {a{b{c?

 3. Observe a figura _`[no adaptada_`]. Nos tringulos retngulos {a{b{c, {a{b{d e {a{b{e, a cada ngulo de vrtice A corresponde um cateto oposto a 
ele. Exemplo: o cateto oposto ao ngulo de 20  {b{c.
  Nota-se que, quanto maior  o ngulo, maior  o cateto oposto a ele. Haver proporcionalidade nessa variao?
  Para responder, faa o que se pede.
 a) No caderno, copie e complete:

 !::::::::::::::::::::::::::
 l medida    _ medida do     _
 l do ngulo _ cateto oposto _
 l           _ ao ngulo     _
 r:::::::::::w:::::::::::::::w
 l 20}      _ 1,5 cm       _
 r:::::::::::w:::::::::::::::w
 l 40}      _ ...           _
 r:::::::::::w:::::::::::::::w
 l 60}      _ ...           _
 h:::::::::::j:::::::::::::::j

 b) Se o ngulo duplica, o cateto oposto a ele tambm duplica?
 c) As medidas dos ngulos so diretamente proporcionais s medidas dos catetos opostos a eles?

 4. Acompanhe a construo:

_`[{figuras no adaptadas descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Traamos um arco de circunferncia.
 Legenda 2: Ajustamos uma rgua flexvel sobre o arco e passamos as divises da rgua para o arco.
 Legenda 3: Desenhamos ngulos centrais de 30, 60 e 90.

  Veja o resultado final _`[no adaptado_`].
  Use essa figura como referncia para fazer o que se pede.
 a) No caderno, copie e complete a tabela, escrevendo o comprimento do arco correspondente a cada ngulo central:
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l medida do n-  _ medida do    _
 l gulo central   _ arco corres- _    
 l                _ pondente     _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 30}           _ ...          _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 60}           _ ...          _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 90}           _ ...          _
 h::::::::::::::::j::::::::::::::j

<252>
 b) O comprimento dos arcos  diretamente proporcional  medida dos ngulos centrais que lhes correspondem? Justifique.
 c) Faa suas contas e descubra o comprimento aproximado do arco correspondente ao ngulo central de 20.

 5. Agora, vamos verificar se h proporcionalidade entre os ngulos centrais e as cordas correspondentes a eles.

_`[{figura no adaptada_`]

_`[{o professor fala: "O segmento vermelho  a corda correspondente ao ngulo central :?{a{o{b*"_`]

 a) Mea as cordas e, no caderno, copie e complete a tabela:

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l medida do n-  _ medida da    _
 l gulo central   _ corda cor-   _    
 l                _ respondente  _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 30}           _ 1,8 cm      _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 60}           _ ...          _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 90}           _ ...          _
 r::::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 120}          _ ...          _
 h::::::::::::::::j::::::::::::::j

 b) A que concluso voc chegou? A medida da corda  diretamente proporcional  medida do ngulo central correspondente?
<p>
 6. Orlando e Vera fizeram uma experincia: cravaram no solo duas estacas verticais; depois mediram os comprimentos das estacas e os 
de suas sombras.

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Estacas
 2 coluna: Comprimento da estaca
 3 coluna: Comprimento da sombra

 !:::::::::::::::::::::::
 l 1 _ 2     _ 3     _
 r:::::w:::::::::w:::::::::w
 l 1  _ 127 cm _ 185 cm _
 r:::::w:::::::::w:::::::::w
 l 2  _ 82 cm  _ 118 cm _
 h:::::j:::::::::j:::::::::j

 a) Os comprimentos das sombras so proporcionais aos das estacas? Para responder, calcule as *razes* entre os comprimentos de cada estaca e o de sua sombra. Essas razes so aproximadamente iguais? Quando lidamos com medidas reais, pequenas diferenas podem ser desprezadas.

 Procure no dicionrio: razo.

 b) Entusiasmados com o que descobriram, Orlando e Vera decidiram calcular a altura de um poste de iluminao. Veja o que anotaram:

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Objetos
 2 coluna: Altura
 3 coluna: Sombra

 !::::::::::::::::::::::::::
 l 1    _ 2    _ 3      _
 r::::::::w::::::::w::::::::::w
 l estaca _ 82 cm _ 118 cm  _
 r::::::::w::::::::w::::::::::w
 l poste  _ ...    _ 11,8 cm _
 h::::::::j::::::::j::::::::::j

  Qual  a altura aproximada do poste? *Dica*: se existe proporcionalidade, a altura *x*, em metros, pode ser encontrada resolvendo 
esta equao (chamada *regra de trs*): 82x=
  =11811,8.

 Procure no dicionrio: regra de trs.

 7. Relembre as experincias feitas at aqui e d sua opinio sobre as situaes seguintes.
 a) Quando uma figura  ampliada, seus comprimentos so aumentados proporcionalmente? E a medida de seus ngulos tambm aumenta proporcionalmente?
 b) Em uma circunferncia, o comprimento dos arcos  proporcional  medida dos ngulos centrais correspondentes a eles? E o comprimento das cordas determinadas por esses ngulos,  proporcional  medida deles?

<253>
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 8. Vamos retomar o que foi estudado em problemas anteriores. Analise bem cada caso para decidir se h proporcionalidade ou no.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 a) Nos tringulos retngulos duplicando o ngulo :A duplica-se tambm o *cateto* oposto a ele?
 b) Nesta circunferncia o comprimento do arco azul  o triplo do comprimento do arco vermelho?
 c) Nesta circunferncia a *corda* {c{d  o triplo da corda {a{b?

 Procure no dicionrio: cateto, corda.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 9. Ainda recordando, faa o que se pede.
 a) Use o teorema de Pitgoras e calcule o comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 cm; faa o mesmo para um quadrado de lado 5 cm. *Ateno*: no segundo caso, o resultado  um *radical* que deve ser simplificado. (Veja exemplos de simplificao de radicais no incio do texto deste item.)
 b) Num quadrado de diagonal *d* e lado *l*, qual  a frmula que relaciona *d* e *l*? *Dica*: os clculos e os resultados do item a) ajudam a responder.
 c) No quadrado, a diagonal  diretamente proporcional ao lado?

 Procure no dicionrio: radical.
<p>
_`[{para as atividades de 10 a 13, pea orientao ao professor_`]

 10. O tringulo grande  uma ampliao do menor.

_`[{figura no adaptada_`]

 a) Por quanto foram multiplicados os lados do tringulo {a{b{c para se obterem os lados do tringulo {a{b{c?
 b) Do tringulo {a{b{c para {a{b{c, os ngulos aumentam na mesma proporo que os lados?
 c) A rea de {a{b{c  quantas vezes a rea de {a{b{c?

 11. Os dois hexgonos _`[no adaptados_`] so regulares.
 a) Quanto medem os lados do maior? E os lados do menor? Qual  a razo entre essas medidas?
 b) Quanto medem as diagonais {a{c e {a{c? Qual  a razo entre essas medidas?
<254>
 c) O hexgono maior  uma ampliao do menor. Aproximadamente, de quantas vezes  essa ampliao?
 d) Nesses hexgonos, as diagonais aumentam na mesma proporo que os lados?
 e) O ngulo :?{a{b{c* mede 120. Qual  a medida de :?{a{b{c*?

 12. O telhado desta casa _`[no adaptada_`]  sustentado por uma estrutura de madeira.
  Observando o esquema _`[no adaptado_`] da estrutura, voc deduz suas medidas (note que cada quadradinho tem 20 cm de lado).
 a) No caderno, copie e complete:
<p>
<F->
 !:::::::::::::!:::::!:::::!:::::
 l viga verti- l v1l v2l v3_
 l cal cm    r:::::r:::::r:::::w
 l             l 40 l ... l ... _        
 r:::::::::::::r:::::r:::::r:::::w
 l distncia   l 140l ''' l ''' _
 l do ponto A l     l     l     _
 l ao p da    l     l     l     _    
 l viga ver-   l     l     l     _
 l tical       l     l     l     _
 l cm        l     l     l     _
 h:::::::::::::h:::::h:::::h:::::j
<F+>

 b) De acordo com a tabela, o comprimento das vigas verticais  diretamente proporcional  distncia de seu p ao ponto A?
 c) Qual deve ser a altura aproximada de uma viga vertical colocada a 100 cm de A?

 13. Mapas e plantas so *redues* da regio que representam. Os comprimentos da realidade so todos reduzidos proporcionalmente. 
Veja trechos de duas plantas _`[no adaptadas_`], em *escalas* diferentes, da mesma regio de uma cidade.
  Examine bem as plantas e responda em seu caderno:
 a) Qual  o comprimento *y*? Por qu? (*Dica*: calcule mentalmente ou resolva uma regra de trs. No enunciado do problema 6, damos exemplo de uma regra de trs.)
 b) Quanto mede o ngulo :x? Por qu?
 c) Qual  a escala da segunda planta? Justifique sua resposta.

 Procure no dicionrio: escala.

 14. A escala de um mapa informa em que proporo devem ser aumentados seus comprimentos para ficarem iguais aos da realidade. 
O mapa de um estado foi construdo na escala 1:1.000.000.
 a) Qual  o comprimento de uma estrada que, no mapa, est representada por uma linha de 7,8 cm?
 b) Se a escala fosse 1:500.000, qual seria o comprimento da linha que representa essa estrada?
<R->

<255>
 Permetro da circunferncia

  Veja o que dizem o marceneiro e o pedreiro:

<R+>
_`[{o marceneiro diz: "Para alargar esse furo, preciso usar a broca de um quarto". Broca de um quarto  a que tem dimetro de um 
quarto de polegada. O pedreiro fala: "Quantas pedras sero necessrias para contornar toda a borda da piscina?"_`]
<R->

  s vezes, importa conhecer o dimetro de uma circunferncia. Outras vezes, interessa saber qual  o seu permetro. Que relao existe entre o permetro e o dimetro de uma circunferncia? Se houver uma frmula relacionando esses dois comprimentos, conhecendo um deles ser possvel calcular o outro. Por exemplo: sabendo o dimetro, calcula-se o permetro.
  Visualmente percebemos que, se o dimetro de uma circunferncia aumenta, tambm aumenta o seu permetro. Esta situao  muito parecida com a das ampliaes dos quadrados. Como vimos, dois quadrados so sempre *semelhantes*, ou seja, o maior  uma ampliao do menor, pois ambos tm a mesmssima forma. Com duas circunferncias acontece a mesma coisa: elas so sempre semelhantes, ou seja, a maior  uma ampliao perfeita da menor. Por isso, podemos concluir que os comprimentos de uma so proporcionais aos da outra.

<R+>
 Procure no dicionrio: figuras semelhantes.
<R->

  Essas ideias vo nos levar  frmula que queremos. De incio, vamos considerar uma circunferncia particular com dimetro de 
 4 cm.
<R+>
  Desenhamos a circunferncia e sobre ela ajustamos um barbante.

_`[{figura no adaptada_`]

  A seguir, medimos o comprimento do barbante, obtendo 12,6 cm.

_`[{figura no adaptada_`]

<256>
  Concluso: o permetro 12,6 cm  um pouco mais que o triplo do dimetro 4 cm.
 12,64=3,1 resto 2
<R->
  Ou melhor, o permetro , aproximadamente, 3,1 vezes o dimetro. Com isso, temos a frmula: 

<R+>
p^=3,1.d
 p: permetro da circunferncia
 ^=: aproximadamente igual a
 d: dimetro
<p>
_`[{o menino diz: "Mas essa frmula s vale quando o dimetro  4 cm". O professor fala: "Engano seu. Ela vale sempre!"_`]
<R->

  Vamos justificar a afirmao do professor. Como em duas circunferncias quaisquer comprimentos correspondentes so sempre proporcionais, aumentar o dimetro faz o permetro aumentar na mesma proporo. Assim, se o dimetro duplica, o permetro tambm duplica e continua valendo, aproximadamente, 3,1 vezes o dimetro.
  Portanto, em qualquer circunferncia, o quociente (ou a razo) entre o permetro e o dimetro  aproximadamente 3,1 sempre. Esse quociente  to importante que recebeu um nome especial:  indicado pela letra grega ^p (pi). Nossa frmula pode, ento, ser escrita assim: p=^p.d.
  Essa frmula do permetro da circunferncia em funo do seu dimetro tem grande importncia na Matemtica e em numerosas cincias, alm de ser bastante usada por diversos profissionais em seu dia-a-dia. Ela  um bom exemplo das concluses teis que podemos obter estudando a proporcionalidade na geometria.

<257>
 Informao extra

  O valor 3,1 que apresentamos para ^p foi obtido por meio de um experimento.
  Usando mtodos tericos, baseados apenas no raciocnio dedutivo, os matemticos obtiveram valores muito mais precisos para esse 
nmero. Por exemplo: ^p^=3,1415926.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) D exemplo de uma situao na qual convm saber o dimetro de uma circunferncia.
 b) Agora, d exemplo de uma situao na qual precisamos conhe-
<p>
  cer o permetro da circunferncia.
 c) No texto, como se conclui que o permetro da circunferncia , aproximadamente, 3,1 vezes o dimetro?
 d) Com um arame de 1 m de comprimento, vou fazer uma circunferncia. Que conta fao para saber que dimetro ela ter?
 e) Explique com suas palavras: o que  o nmero ^p?
 f) Por que a frmula que obtivemos numa circunferncia de 4 cm de dimetro vale para todas as demais?
 g) O que so figuras geomtricas semelhantes?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 Problemas e exerccios

_`[{o professor diz: "Nos prximos problemas, adote para ^p o valor aproximado 3,14"_`]

 15. Na bicicleta da figura, se a roda der uma volta completa, quantos metros a bicicleta avanar?

_`[{figura adaptada: Uma bicicleta com o dimetro da roda igual a 70 cm_`]

<258>
 16. Um desenhista de mveis est projetando uma mesa de tampo circular para quatro pessoas. Para acomod-las bem, ele decidiu 
destinar 90 cm da borda da mesa para cada pessoa. Nessas condies, qual deve ser o dimetro da mesa?
 17. No caderno, h uma frmula para o permetro do crculo, que  diferente daquela que vimos. Em vez de relacionar dimetro e 
<p>
  permetro, ela relaciona raio e permetro.
 Permetro do crculo: p=2.^p.r
  Explique como se pode obter a frmula do caderno partindo da frmula p=^p.d.
 18. Qual  o comprimento aproximado do arco ^:?{a{b* assinalado na figura _`[no adaptada_`]?
  *Dica*: comece calculando o permetro da circunferncia; depois, lembre-se de que o comprimento do arco  diretamente proporcional 
 medida do ngulo central correspondente. Assim, voc pode usar uma regra de trs. Ou ento, calculando mentalmente, descubra que 
frao da circunferncia representa esse arco.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades 19 e 20, pea orientao ao professor_`]

 19. O permetro do crculo pequeno  2,413 cm. Qual  o permetro do crculo grande? *Dica*: compare os dois dimetros e use a 
semelhana entre os crculos.

_`[{figura no adaptada_`]

 20. O raio de uma circunferncia mede 12 cm. Calcule o comprimento de um arco da mesma circunferncia determinado por um ngulo 
central de 30. D a resposta em funo de ^p. Ou seja, a resposta ser 3^p, ou 5,7^p, ou algo parecido.
 21. O clebre matemtico 
  Arquimedes usava o valor  #;;g para ^p. As calculadoras cientficas usam um valor mais preciso.
<p>
_`[{visor de uma mquina de calcular mostrando o nmero 3,141592654_`]

<259>
  O valor usado por Arquimedes  correto at os centsimos? At os milsimos? Use calculadora para responder.

_`[{para as atividades 22 a 24, pea orientao ao professor_`]

 22. Veja o terreno _`[no adaptado_`] onde Plnio construiu sua casa.
 a) Entre o ptio e a garagem ele quer colocar uma piscina circular pr-fabricada. Plnio pode escolher entre trs modelos, com raios de 1,20 m, 2,05 m e 3,10 m. Desejando a maior piscina possvel, qual modelo ele deve escolher?
 b) Aproximadamente quantas lajotas quadradas de 30 cm de lado sero necessrias para cercar a borda da piscina?

 23. Veja o mapa _`[no adaptado_`] da praa circular de centro O e dimetro de 40 m.
 a) Uma pessoa quer ir de A para B pelo caminho mais curto. Ela deve andar pelo contorno da praa ou fazer o percurso {a{o e depois {o{b? Por qu?
 b) Outra pessoa quer ir de B para C. Nesse outro caso, qual ser o caminho mais curto? Sem pisar no jardim,  claro.

 24. Voc vai calcular um valor aproximado para o nmero ^p da maneira que descrevemos a seguir. Siga os passos:
  mea o permetro da base de uma lata cilndrica (use fita mtrica de costura);
  mea o dimetro da base circular;
  com essas medidas, obtenha o seu valor aproximado de ^p;
  repita a experincia com latas de tamanhos variados (pelo menos mais duas latas);
<p>
  calcule a mdia desses valores obtidos para ^p.
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  diferenciar se h proporcionalidade ou no entre certos elementos das figuras;
  reconhecer algumas relaes de proporcionalidade na geometria, especialmente entre uma figura e sua ampliao e entre ngulos centrais e arcos de uma circunferncia;
  explicar uma maneira de obter a frmula p=^p.d e us-la na resoluo de problemas.
<R->

<260>
 Um toque a mais

 Matemtica e mquinas

  Guindastes, automveis, robs ou liquidificadores so mquinas complexas. Existem muitas outras, mais complexas ainda, usadas nas indstrias e que so pouco conhecidas. Quase todos esses equipamentos tm em comum alguns elementos simples, como roldanas ou engrenagens, que auxiliam seus movimentos e diminuem o gasto de energia. Isto , na base do funcionamento das mquinas complexas esto as mquinas simples.
  Mquinas simples e complexas constituem o mundo dos engenheiros mecnicos, dos especialistas em robtica e de vrios tipos de tcnicos, como os mecnicos de corrida de Frmula 1. No temos a inteno de explorar esse mundo to vasto, que s poderia ser descrito em vrios livros. Entretanto, como acabamos de estudar um pouco da circunferncia, vamos dar uma olhada na maneira como a forma circular est presente na matemtica de algumas mquinas simples.
<p>
 Engrenando...

  Voc sabe o que  um trem de engrenagens? Este  o exemplo mais simples.

_`[{figura no adaptada_`]

  Os dentes da roda A se inserem no meio dos dentes da roda B. Se a maior gira, a menor tem de girar. Imagine a rotao de ambas. Observando e refletindo voc perceber pelo menos duas coisas:
<R+>
  o giro da engrenagem B tem sentido contrrio ao da engrenagem A; se uma gira no sentido horrio, a outra gira no sentido anti-horrio.
  a cada volta completa de A correspondem duas voltas de B; isso porque, numa volta completa da engrenagem maior, todos os seus 24 dentes passam pelo ponto M e, assim, empurram 24 dentes da engrenagem menor. Co-
<p>
  mo essa tem apenas 12 dentes, ela dar duas voltas completas.
<R->
  Tendo notado tudo isso, voc pode deduzir que um trem de engrenagens serve para mudar o sentido de uma rotao e tambm para aumentar ou diminuir sua velocidade.
  Esse aumento ou diminuio da velocidade de rotao chama-se fator de transmisso. O fator de transmisso de A para B  a razo entre o nmero de dentes de A e o nmero de dentes de B, neste caso, com um sinal negativo para indicar a mudana de sentido da rotao. Isto :
<R+>
 Fator de transmisso de A para 
  B=- nmero de dentes de A  
   nmero de dentes de B=-#;ab=
  =-2
<R->

<261>
 Rodando...

  Um sistema parecido ao do trem de engrenagens  composto por rodas dentadas e correntes. Um exemplo tpico  o da figura seguinte.
<p>
<R+>
_`[{figura no adaptada seguida por legenda_`]
 Legenda:  muito fcil encontrar um sistema constitudo de rodas dentadas e correntes: ele est em todas as bicicletas.
<R->

  O movimento do pedal faz girar a roda dentada maior A. Ento, a corrente transmite o giro para a roda dentada B. Neste caso, o sentido da rotao no muda. De acordo com o nmero de dentes das rodas do desenho temos:
<R+>
 Fator de transmisso de A para B=+#;ad=3
<R->
  Se no houvesse esse sistema de rodas dentadas e correntes, as bicicletas no seriam to apreciadas. At fins do sculo XIX, o pedal das bicicletas era ligado diretamente  roda dianteira. Portanto, a cada giro do pedal, a roda dava uma volta. Para compensar o pouco rendimento do sistema, foram fabricadas bicicletas com rodas enormes. No entanto, essas bicicletas eram incmodas, pesadas e instveis.
  Para entender o problema com as bicicletas antigas, vamos compar-las com as modernas. Imagine que ambas tenham rodas com pneus de 70 cm de dimetro. Nas duas, o permetro do pneu  70^p cm, o que d 2,19 m, aproximadamente.
<262>
  No sistema antigo, cada volta do pedal fazia a bicicleta avanar 2,19 m. No sistema moderno, cada volta do pedal corresponde a um giro da roda dentada maior. Essa rotao  transmitida  roda dentada menor. Se o fator de transmisso  3, valor bastante comum, a roda dentada menor d 3 voltas e a roda traseira, ligada a ela, tambm d 3 voltas. Isso faz a bicicleta avanar 32,19 m, o que d mais de 6,5 m. Bem melhor, no ?

 Parando...

  Esperamos que voc tenha aprendido um pouquinho sobre essas mquinas simples e sugerimos trs questes para voc avaliar seus conhecimentos.
<R+>
  No trem de engrenagens esquematizado na figura _`[no adaptada_`] est indicado o nmero de dentes de cada uma. Qual  o fator de transmisso de A para B? E de B para C? E de A para C? Que relao h entre essas respostas e o produto de nmeros negativos?
  No desenho anterior, a engrenagem C gira no mesmo sentido ou no sentido contrrio ao de A?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Em alguma bicicleta, na sua mesmo, se voc tiver uma, descubra qual  o fator de transmisso entre a roda dentada do pedal e a catraca traseira.
<R->
<p>
  Se voc gostou e quiser saber mais sobre mquinas e seus elementos, leia o livro *Matemquinas*, escrito por Brian Bolt, publicado 
pela Editora Gradiva. Ele foi nossa principal fonte de informao para escrever este texto.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte
